函数在无穷远处的一致连续性

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集美大学学报 21 I— 7, 9 () 0 7 51 7 9 Jun lf i i nv i o ra o J i￣ t me U y

]一 函数在穷处一连性 (] )无远的致续塑主 .直(集美大学师范学院，厦门 3 12 ) 601 摘要

01/ 7

根据函数一致连续的定义及函数在有限区间的一致连续性问题，着重讨论函数在无限

区间一致连续性的条件。

中安0 耋分 ’ 图

几

,

我们已经知道，若函数， )限闭区间，】 (在有 b上连续，那么函数， ) (在闭区间，] b上必一致连续( .at定理) GC n r o但是，如果将闭区间，] b改为有限开￣l( b,则定理将 h a,) q不成立，主要是两个端点处的问题，如果加上条件：f a 0与，自一0存在且有限，就有 (+) ( )如下定理：若函数， ) (在有限3￣ 1( ): . a内连续， F h q刚函数， ) (在，) b内一致连续的充要条件为f a 0与/ b一0存在且有限，其充分性只要补充定义： (+) ( )

, ) (=

,( ( ) )

。( , )

即可得证。其必要性，由f ) (在，) b内的一致连续性，对端点 a,当 ,“满足： 0 一a< 2与 0 < 6/<一a<5/ 2时.:就有

l-

- l -l6于： a l口，是+<I ( ), )￡, - ( I <

f a 0存在且有限。同理可证，自一0存在且有限。 (+) ( ) 当 a, b为元限时洧 , *)一o,]一o, *)+、(。 b和(。+三种情况，这时，函数， ) (的一致连续性如何呢？为此，我们着重就函数在无限区间一致连续的条件加以讨论同有限开区间一样，连续函数在元限区间内非一致连续主要出现在无穷远处，故只要对 o时附加点条件，就可达到一致连续的目的，故有如下定理：。 定理 1若函数f )Ⅱ+。连续，且 l f . -有限) N f ) (在[, o ) i m ( )A( I= f,t (在+。一致 o) ●+ *

连续

证明

因为 l f ),由柯西收敛准则，V e 0 N i ( - m 4, >,3 使 V >有： ,Ⅳ, +

l( - ( I￡, ), ) <现将，*)+分成两个重叠区间[’ l aⅣ+】和，*)+,因为， ) (在 '

1上连续，因而Ⅳ+]一

致连续，从而对上述的 e 0 j如，使 V - E口 N+]>必 , 【, 1,且I . I6时有： <

收稿日期： 1 9 -81 9 6—2 0

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第1期

杨中南：函数在无穷远处的一致连续性

l ( ( l￡, ), ) <

令 6 ml d 1. ”[, ) l l有 i )则V , d+, -<与”属于Ⅳ 1 l,{∈ *且，同，+】或同属于， m)+,无论哪一种情况. 均有：

l ( - (< , ) f x) e I所以函数， X在，m) ()+上一致连续

注 ()若用，与，m) 1Ⅳ】+,那么当 -”与分别在两个区间时，虽有l . l, <d不能马上得出 I(●一，” I的结论。 f ( )<

()条件 2m+

l i f∞有限) m A(只是充分条件不是必要的。例如'函数， )s 在( (=i n一

+内一致连续，但 l s 并不存在 *) h i n ()同理有：函数f )一*,m) 3 (在(+内一致连续的充分条件是f ) ( (在一*,m)+内连

续，且

l i (与 l ( I ) i f )都存在且有限；函数f )一*,】 n, m (在( a上一致连续的充分条一

件是f x在 ( ()一m,+胡上连续，且 l, )存在且有限。 i ( m 定理 2若对区间，上任意 x满足 Lpci条件：, i hz s t

f() fyl Lf, - ()s 其中L为正常数， f ), N (在上一致连续。 证明

l

因为 L 0>,V￡ 0只要取 6/> (>,=e L 0与无关) V,∈,且 I。 Y . x—y /<

6,:f )∽ l L‘ l—YIL’ eL 时有 I(一，《 < f=

所以， ), (在上一致连续定理 3函数，(在区间，( X)有限或无限)一致连续的充要条件是：在区问，上满足l ( n—Y) i x m=0的两数列{ n,Y )有： X ){必 1【 X)皿 .,(n一f( ) y】 =0

证明

( ( 1必要性) )若函数， X在， ( )上一致连续，则 V E 0 j 6 0 V, E当 >, >,

In—Y l时，有： X<

I( ),南一f( k Y)即对任意两数列{ ){ ,月 m时，一 1 0就有： ,Y )

当 I 而 I( n一f Y ) 0, X ) ( 1

(( 2充分性) )用反证法'若两数列{ ) Y )当n o时，— I o I(n一， Y ) , , 。 ' x ) ( 1{,0而f X),上又不一致连续，那么一定 j> .V6>,j…当 In— (在￡ 0 0 Y X k6时，有I(n一， )>e, 6 f X) ( l 0取 0 .我们得到两数列{ )( )当 n m时，而， , 1一Y l 0但 I( n一， )>e , f X ) ( I。这与 l【 (一 ( )皿 _,尚) f Y】 =0的假设矛盾所以函数， ), (在上是一致连续的。 注定义此定理在证明非一致连续时常用有数列{ n, a )如果 V￡ 0 j自然数 N, ,Ⅳ有 In ml￡称{ )>, V,庙 ' a—a<,

是柯西数列 (亦称基本数列 ),简称柯西列

定理 4若 ) (是实数集上的一致连续函数，{ )是内任意的柯西列，靠则

)}

’一—1一T一 -—r

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第2卷

也是柯西列证明因为厂(一致连续，所以 V e 0 0, R,只要一”<就 X) >,j6> Vx,” /8有：/’一 f” k 0 f( ) ( )

设{ l R为柯西列，于是对上面的 6 0 N>,使当，>时，有： >,j 0 nⅣl ) ( m ke厂一厂 X )

即{ ),}是柯西列注若实数集 R改为有界实数集，则定理为充要的.有如下定理定理}函数 f ) (在有界区间，上一致连续的充要条件是当{},上的任何柯西 是列时，, ){ l也是柯西列

定理 5设， )义在( (是定一m, m上的以 2(> )+ ) 11 0为周期的周期函数，则f ) (在(一m,*)一+上致连续的充要条件是f )一m,*) (在(+上连续证明必要性是显然的，只证充分性。 充分性：因为f )一*, m) (在(+上连续，所以， ) (在闭区间【 4】也连续，并一 o, l上致连续于是 V e 0 > .j6>0,Vx, 【,l,当 I一”<时，:’” 04】 x /8 有， l )’一f( )<￡”/

不失一般性，可设 6 2, ,2∈一*,m)使 I1~ 6并设< 2由f )<1 V 1

(+, x 2, l< X, ( 在(一∞,∞)+的周期性， j整数 n及，, 1 n+ ( < I总 有：=2 l 0< 2及 2 n+ )=2l ( <』 0<则有： 0 一= 2 1也f 0< 2且<, )< x一x< 所以f ) 04】 (在【, f上一致连续，又∈ 0 2】 I k6故有：[/且口一，

I ()厂 le由fx的周期性：,o- (), (:< )厂(1= 2 o=,他) X) f(^+: );

fx ) f 2l B= ()有： (2= (+ ), B; n

lx - () l - ()￡ f 1厂也l厂 ()=犯),B< l所以函数f )一m,*) (在(+上一致连续。 定理 6设函数厂 ) (在，m)+连续， 且当线，即满足：l【 () ( d)=0c ) i fx - c m x+】 ( 0则，( )【, 在 a+m)上一致连续

+ *时，= (以直线 Y c d为渐近 Y, )=+

证明

已知 l【( + )= ( )由柯西收敛准则： e 0>, i厂∞- m d] 0c 0 V>, 0

,, A, x

有：

I x) ( 2 -“1 (+ )￡ 2 f 2一“+ ), )“l f, (+<

所以 I x () lk-l l x - () c )￡ 2 f O厂 ld X f 2 fx -( ( - I ( ) 1也 l, < 所以 lx) f 1< 2 l E2 f 2- ( ) Hl - l/ ( xl + 不设 II -l e2得l 1 e2, 6=/￣于 妨 d- X</, l,d取。￡2,是， h I 2< I 1 tV> .6>,x, A当l - l6 e 0 1 0 l 2, l 1时有： j V 2<

lx - ( ) H6+/=￡2+/= f 2 fxJ 1￡2 J,l e2￡ ( ) 1< d q又已知函数， ) 在闭区间【,+】 d^ l上连续，所以厂()在闭区间【,+】 a^ l上一致连续，

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对上述的￡>Oj,x,2,6 2>OV 1

取6 mn6,2} 1 2[+。且有 l6则 X X= i{】 l: 6, ., d o, 2 1, 1 2可同属于，+】 , )<, A1或同属于[,o,^+。无论哪种情况， )均有：l ) fx)￡ f 2一 (1< ( l所

以函数，在陋， o)一致连续 )+。上间

定理 7若单调有界的函数， ) (在有穷或无穷的区间， ) b上是连续的，则此函数在区 )是一致连续的.上 证明当 . ) b是有穷区间删，因为f ) (在，单调有界，由函数的单调有界定理 b)

极限，+) l (∞ ) l (存在且有限：, ) 0 i,= m ) o= ',埘 )又 (在0,) b连续，所以函数4+ U

f ) (在，一致连续 b)4

又当a与 b分别为一*与+ m时，因为f )一*+上单调有界，由函数的单调 (在( .*)有界定理，极限 u,与 l m ()讧 (仍存在且有限，又， )一*,*) n, ) (在(+连续，由本文的 ”

A

“当

定理 1,函数f ) (在无穷区间( ,或∞,*)一*,*一致连续。一 )+或(+ )卜

定理 8如果函数， )口+上可导. (在(, *)且对 E,*) l () M, 是 +有： l f 其中证明因为函数f )口+上可导， (在(, *)所以： 2 (. o, ( ) X,z l, d+。 f x在【 1 l ) x上满足拉

常 (在 d+*) _致连续上一 r,数，则， ) (,

X, ) “格朗口定理的条件，由拉格朗日定理，在( l 2内至少存在一点 c,时有

使，(= X) c),(2一f( ) 2一 x)柏 X 1,

又因 为

,。,“l M, l 2,o,+) ) o有l≤而c, )+。所以l (l M,有 ), c≤所以： ) l x)fx ll(l—t M l l f ( ), c l 2 (,= ) ≤ xl x) fx) M l 1 M=￡ M= f 2 ( l 2 Xl 8 M/￡ ( 1≤ X<

于是，￡ 0 V>可取6￡ M>,x, (,o, l6有=/ o 1 2口。当l 1时， V +) 2<所以函数 f ) (, *)一致连续。 (在 d+上

定理 9若函数列 (}=, 3……)一*,*) ) l, 2在(+上一致收敛于f )且每一项在 (, (一*,*)+上都是一致连续的，则极限函数f )一*,*) (在(+上一致连续。 证明因为 )在(}一*, *上一致收敛于f X,所以 V s o j>+ ) () >, _ o当>时，ⅣⅣ

V∈

一， ) l曲.曲</:有：, ) f ( l￡ 3 Vl 2 (。 *有 ( *+有： (^( l￡3也 l Ⅳ )/; x,一， ): *, (< o+l x) f ) l x) (+Ⅳ 1 f ( ), (2- ( ) f 1 ( l f 1一 ) f )ⅣX+ⅣX) fx l ( 2= ( 2 2≤fx) f ( )i~ ) fx)1N ) (2l l 1一 N kf (2 (2I (1 X) ( 1-+ f ￡ 3￡ 3 l (一 (2l,+/+Ⅳ ) f )又因为 (在(一*, *)一致连续，对上述的￡>Oj对V 1 2 (*, o,当+上，>0 x, +。 )

l 2 6 l时， l ( ) ( )￡3于是 V>,>, 1 2一，o,只要 1<有， l/Ⅳ 1 2< ￡ 0 6 0 x, (+。| V ∞ ) l 2 6 l就有lx . ( )￡3￡3￡3￡所以数f ) (。+ )一致连 1< f 1 f 2</+/+/=,函 (在一。 *上 () x l,续

定义没’为(,),” d6中受条件 - l6限制的任意两点， ≤称函数：

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0 (= Sp l( ) fx), ) u f l ( l 6 , ‘

l6 s

为函数厂 )区间，上的连续模数 ( (在 b)简称连续模 ), 定理 1函数，( )区间，上一致连续的充要条件为： l∞ 6: 0 在 6) i () 0, m6。+O

证明

(必要性)为，( )因 在

)一致连续，则 V>,6>,,内￡ Oj O

(,,当 d)

l6时， l , </现取0 6 6, . l6 6时，<有：, )“ )￡2“ l<<则当 ≤< 必有： f ( fE 2 E从而，s, ) Sp f ),{/<, 厂 )厂 _ l< ( )< 0∞ (= u f一 (￡2 E所以 6 ( ) 1鲔-

8

,6 0 ()

(充分性)以所

8

0

∞ (=, V>,6>,,6 0则￡ 0 0使当0 6< )了< 6时， 0, 6< 有：∞ ()￡

现设 X与是，中满足一 l6 6) ≤的任何两点，若=” ,则显然有：

f x ( fo￡ f 厂 )<; ()=若

, f6则o 6<于 令f <

0< 0 6,是l“0, ) 0,6 )￡,一 ( l (0<

所以函数，(在( 6内一致连续 X) d,)

g理 I证明

若对 R上任意 x与 Y,有， x ) ( ∽, ( )且， ) (在点 0连续则函数， ) (先证， ) (在上连续： A=f(+ ) (=,+ ( ) () y x 一，曲 (),一f=,( )

在任意∈R连续， ( ) X,其中 a (是常数且， X 1 )由已知，Vx∈R与 Y 0有： ( ( 0_ ( ()所以， 0 o ∈R有： -, ) X+) ) 0, - f (),v=,

因为， ) 0 (在点连续，所以 j

u

=, ),0= (= ( 0所以， ) ) (在R上连续皿 U

再证， ) , E R a () (=d , 1.

由已知，+ ( 0) ( ) ),所以当与为正整数时，有：,( ),( (一 1 )f( ) (~ 1x) = X+m ) _ ( - )=

,( ) ( ) (一2 )…= ( ) ( X ):, X ).

( )

= m

f ) (

所以 f( x)

x n=, x n,而，( I=/, )/ )n ( t ) n) l n (

于是： f( n=n X/=m/ X m/ X),f( n) nf( )又由已知： 0= 一 ), ),( )0,(),( = (+~= 所以，~ X) (=一， ) ( 于是：(,,一， =一厂 xn=一m/ (/) n厂∞

故对任何有理数，有f r, (f是： X) , ),(=r (

r (, (一， ) f ) (+ . c, 一*)=123…… ),,

对任意无理数 C取一串有理数 h,,使

因为函数，( ) R上连续，所以 l,=l 在 i ( m i m, ()即有：厂( )厂( ( C=c X)因为 l :c i m

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所以 Vx∈R及任意实数，, B ) f X .有： (= ( )所以 Vx∈R,有：( )f .) f 1=,中 a_ (), _ ( 1=x ()a其 - - 1 f

定理 l若函数 f ) 1 (定义在(。+ ),一。,*)一。,m E对(。+上任意“与v有：, f(“+v= ( ), v)函数 f(

在点 0连续， ),“+ (,且 )则函数f( ) (。+上一致连 在一。,一)续证明由上引J l ) (￣ J f(在一*, )连续，且， ),,()+上 (= a= 1

若a 0:,则 f )0显然f )一*, *上一致连续。 (=, (在(+ )若 a 0, s O,2 (>, ∈一*,,由不等式： 4 - )

lx) fx ll 2= l一】￡ f一 ( ) 01 X X< ( 1= 3l i解得 l一 l￡a可取6￡l>, >,=/ f0 x (,*, < hl 2,=/ l0 a于是￡ 0 6 El>,】 2一+ ) j a V, * 当l一<时有：fx一 ()川一<￡ l￡ I6, l fxl ()= i = 即函数f )一*,上一致连续。 (在(+ ) 定理 l函数 f ) 2 (在区间，上一致连续的充要条件是： f 0及 VXY E, j 0 >,,,Ⅳ>,当：f( ) I 一f(,—YlJ时， I( ) O )<￡ Y) >Ⅳ有 f一f l

证明

( 略)

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Th n r o sCo t u t f n to t n n t e Co g u u n i iy o n Fu c i n a f ie IiYa g Zh n n n n o ga(ec e’ ot Jm r i. a e 3 12 ) r ahr c l, ie

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Ab t a t I hs p p r sr c n t i a e,we man yd SU S tec n iin,po ete fc n r o sc ni ut f il iC S h o dt s r p ris o o gu u o t i o o n y h cin Ol f ieitr asa dterp o f co dn ed fnt f o g u u o t u t f m to l ii t ev l n h i ro sac ri gt t e io o n r o sc ni i o n n n oh i i u c n y fncin a d tec n r o sc t ut f n inOln i i tr as u to n o gu u o k i o i c o lif t i ev l. h u n y n t n en K wo d fn t n if ieitras c n r o s o t ut- r s u ci,n n t e v l, o g u u n i i o i n c n y

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