小波变换基础

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一、认识小波1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元， 是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。 从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。

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一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函 数f(t)。因为信号是能量有限的，即

f (t ) dt 0

2

(1.1)

满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R) 图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅数字 图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。从数 学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University如图1所示的LENA图像f(x,y),假设图像的大小是512x512,量 化级是256,即

0 f ( x, y) 255

0 x, y 511

y

x

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t) L2(R) , 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ,t R , i=1,2,…使得

f (t ) 其中

c g (t )i i i 1

(1.2)

ci f (t ), g i (t ) g k (t ), g l (t )

f (t ) g i (t )dt

g k (t ) g l (t )dt kl,k , l Z (1.3)

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University对于给定信号f(t),关键是选择合适的基gi(t) ,使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不 满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能 得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有： (1) K-L变换 (2) Walsh变换 (3) 傅立叶变换 (4) 小波变换 如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶 变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。 在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波 变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特 殊信号： (1) 小波必须时振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University一些著名的小波[3]:

1、Daubechies小波

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2、Coiflets小波

3、Symlets小波

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4、Morlet小波

5、Mexican Hat小波

6、Meyer小波

SKIP

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University不是小波的例

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3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函 数表示成如下形式：

a0 f (t ) 2

(ai 1

k

cos k 0t bk sin k 0t )

(1.4)

这就是著名的傅立叶级数， k 0t和sin k 0t 都是简单的调和 cos

振荡函数，直观讲都是正弦波。 k 和bk 是函数f(t)的傅立叶系数， a 可由以下公式计算：

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2 ak T 2 bk T

T

0 T

f (t ) cos k 0tdt,k 0,1,2 f (t ) sin k 0tdt,k 0,1,2

(1.5) (1.6)

0

于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对应， 即

f (t ) a0 , (a1 , b1 ), (a2 , b2 ),

(1.7)

从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t) 在给定能量下的最佳逼近：

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N 0

lim

T

a0 f (t ) 2

ak cos k 0t bk sin k 0t dx 0 k 1 (1.8)N

2

对于L2(R)上的非周期函数f(t) ,有

f ( )

称 f ( ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为

f (t )e

i t

dt

(1.9)

f (t )

( )ei t d f

(1.10)

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University有了傅立叶变换，我们可以很容易地将时域信号f(t)转换到频 域 f ( )上，于是信号的频率特性一目了然，并且与傅立叶级数 一样，傅立叶变换将一段信号的主要低频能量都集中在频率信 号的前面几项，这种能量集中性有利于进一步的处理。在过去 200年里，傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用， 但傅立叶分析也有不足，主要表现在以下两点： 傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性； 傅立叶分析对非平稳信号的处理效果不好。

下面通过两个例子来说明这两点。

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University例1、歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成 某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在 哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所

示。

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。

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College of Mathematics and Computer Science, Hebei University因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性， 同时也能在频域反映信号的局部性，这种数学工具就是“小波”。从函 数分解的角度，希望能找到另外一个基函数 (t) 来代替sint。 (t) 应满足 以下三个特性： 任何复杂的信号f(t),都能由一个母函数 (t) 经过伸缩和平移产生的基 底的线性组合表示； 信号用新的基展开的系数要能反映出信号在时域上的局部化特性； 新的基函数 (t) 及其伸缩平移要比三角基sint更好地匹配非平稳信号。 历史上，Haar第一个找到了这样一个基函数，这就是非常著名但又 及其简单的Haar小波。

1 (t ) 1

1 x 0, 2 1 x ,1 2

(1.11)

College of Mathematics and Computer Science, Hebei University数学上已经证明：

(2 t k ) | j , k Z j

(1.12)小波级数、信 号的小波逼近 ( j, k Z ) (1.13)

构成L2(R)的一个正交基，通过规范化处理，

j ,k (t ) 2 2 (2 j t k )

j

构成L2(R)的一个规范正交基。故任何一个能量有限信号 f(t) L2(R) 可以分解为

f (t )

cj Z k Z

j ,k

j ,k (t )

(1.14)

其中c j ,k f (t ), j ,k (t )

f (t ) j ,k (t )dt

(1.15)