2-1衍射和傅里叶光学基础

物理光学 潍坊学院 衍射和傅里叶光学基础

第二章 衍射和傅里叶光学基础

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傅里叶光学：现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方 法移植到光学领域而形成的新学科。在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号， 一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。 在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性 理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。 电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时 间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换； 在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不 同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数 的傅里叶变换。

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傅里叶光学与光学理论一门新的理论总是要完成下列几项任务： 逻辑上自洽，也就是讲，自身要完整 能够解释原有理论的可以解释的那些内 容，并且得出相同的结论 能够解释原有理论难以解释甚至无法解 释的内容 能够增添新的内容，得到新的结论，开 拓新的领域，提出新的观点3/38

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傅里叶光学与光学理论傅里叶光学自身理论是完整的 它可以解释几何光学的成像原理 它可以合理完整的解释光的波动学说： 干涉和衍射现象 它可以得到传递函数、相衬理论、全息 光学等新的现象和新的领域

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§2.1 常用非初等函数 在函数论中，将幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数称为基本初等函数。而初 等函数则是指在自变量的定义域内，能用单一解 析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运 算和复合所构成的函数。 非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单 一解析式表示的函数

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2.1.1 标准形式的一维非初等函数(1) 矩形函数又称为门函数，表示为 x rect x 或 1 rect ( x) 1/ 2 0 x 1/ 2 x 1/ 2 x 1/ 2-1/2

rect(x)1

x O 1/2

rect( x)dx 1

曲线下面积为1,表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率

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sinc 函数 (2) 定义：1.0sinc( x)

sin x sinc x x

0.8 0.6 0.4 0.2 0.128 1.43 3.47 2 -0.217 2.46 3 -0.091 4 x 1 0.50

sin c( x)dx 1

-2

-1

0 -0.2

曲线下面积为1,中央主瓣宽度为2,旁瓣宽度为1 表示单缝夫琅和费衍射的复振幅

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The normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale.

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The local maxima and minima (small white dots) of the unnormalized, red sinc function correspond to its intersections with the blue cosine function.

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sinc 函数sinc 2 ( x)

2

定义：

1.0 0.8 0.6 0.50 0.4 0.2 0.047 -2 -1 0 0.44 1 1.43 2 0.016 2.46 3 0.008 3.47 4 x

sin 2 ( x) 2 sinc ( x) ( x) 2

表示单缝夫琅和费衍射的强度分布

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(3

)三角函数 表示为 定义： 或Λ(x) tri x x 1 x 1x 1 tri(x)

1 x tri ( x) 0 或者 1 x tri ( x) 1 x 0

1 x 0 0 x 1 其他

-1

0

1

tri( x)dx 1

曲线下面积为1,表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数

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(4)符号函数 记为：

sgn x 1

sgn(x)

x

定义：

0

1 sgn( x) 0 1

x 0 x 0 x 0

-1

与某函数相乘使其极性翻转

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(5)阶跃函数 定义：

1 step( x) 1/ 2 0

x 0 x 0 x 01

step(x )

x 0

表示刀口或直边衍射物体或开关信号等

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(6)圆柱函数 1 circ(r ) 1/ 2 0

Circ (r)

r 1 r 1 r 1

1

y

x O 1

circ(

1, x 2 y 2 a x y ) a 0, 其它 2 2

描述均匀照明圆形孔径的透射系数

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(7)高斯函数 Gaus x 定义：1.0 0.8

Gaus (x)

Gaus( x) exp( x )2-2-1

0.6 0.4 0.2

0.50

0.0430.47

1.48

2

各阶导数连续，是平滑化函数，其傅里叶变换仍然是高斯 函数(自傅里叶函数)。描述激光器发出的高斯光束

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小结：七种非初等函数的定义： 严格来讲其中的sinc函数和高斯函数并不属于非初等函数， 但是它们在描述光场及其变换的作用与其它非初等函数类似； 在某些非初等函数的定义式中，给出了间断点处的函数值， 规定它等于该间断点处左、右极限的平均值，在实际运算中， 可以不考虑间断点处的函数值，即可以将这些点看作连续点。 如对rect(x)进行积分，其积分域可取为：

1 1 2 , 2 16

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§1.2.2 一维非初等函数的一般形式在描述复杂的物理过程时，常常需要将标准形式的非初等函数 进行比例缩放、平移、反射或四则运算，构成复杂的函数形式。

1.比例缩放、平移和反射a为纵向缩放因子，确定函数fold(x) 的纵向缩放比例和反射(对于对称 函数而言，其反射轴为fnew(x)=b); x0表示横向 平移因子；

x x0 f new ( x) afold ( ) b Lfnew(x)一般形式的非 初等函数b为纵向平移因子；

fold(x)表示标准形式 的非初等函数17

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x x0 f new ( x) afold ( ) b LL为横向缩放因子，确定函数fold(x)的横 向缩放比例及反射(对于对称函数而言， 其反射轴为x=x0)。 对于

x x0 rect( ) L

x x0 tri( ) L

x x0 x x0 Gaus( ) sin c( ) L L

这一类以x=x0为轴对称的函数，参数L只表示横向缩放比例，因而可以取 绝对值； 对于阶跃函数：

x step( ) L

和符号函数：

x sgn( ) L

因为其定义域无穷大，故参数L不表示横向放大，只表示函数图形以 x=x0为轴的反射。18

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例如，将标准形式的矩形函数进行比例缩放、平移和反射。 一般形式的矩

形函数表示为：

a b a x x0 f new ( x) arect( ) b b L 2 b f new (x)

| ( x x0 ) / 2 | 1 / 2 | ( x x0 ) / 2 | 1 / 2 | ( x x0 ) / 2 | 1 / 2

a b

L

b

x0x0

图2-8 一般形式的矩形函数

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例1、画出函数

f new ( x) 2step(

x 3 ) 1 的图形。 1

解：为了说明各个参数的作用，作图可分为几步完成

2step( x 3)

21 4 3 2 1 0 1 2 1 2

21

2step(

x 3 ) 1

x3

4

4 3 2 1 0 1 1 2

x2 3 4

2

2step(

x 3 ) 1

2

2step(

x 3 ) 1 1

1 4 3 2 1 0 1 1

1

x2 3 4

4 3 2 1 0 1 1

x2 3 4

2

2

图9 具体阶跃函数的作图

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2.非初等函数的四则运算和复合某些复杂的物理过程可以通过非初等函数之间的四则 运算和复合来描述。例如矩形调制波可表示为：

x nx0 2 x f ( x) rect( ) sin c ( ) l L n

f(x) 1x sin c ( ) L2

lx -L -x0 0 x0 L -2L021

图10 矩形调制波