02第二讲：随机过程概念及数字特征

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第二讲( ) 第二讲(1)

随机过程概念及其数字特征

1.随机过程概念 随机过程概念 2.随机过程的分布函数和概率密度函数 随机过程的分布函数和概率密度函数 3.随机过程的数字特征 均值、方差、自 随机过程的数字特征(均值 方差、 随机过程的数字特征 均值、 相关、自协方差、互相关、互协方差) 相关、自协方差、互相关、互协方差)

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第二章

随机过程分析

2.1随机过程概念 随机过程概念 随机信号: 随机信号 某个或几 个参数不能预知或不 可能完全预知( 可能完全预知(带有 某种随机性) 某种随机性)的信号 随机噪声： 随机噪声：凡是不能 预知的噪声， 预知的噪声，或简称 为噪声。 随机过程： 随机过程：随机信号 特征： 特征： 和噪声通过通信系统 (1)是时间 的函数。 的函数。 )是时间t的函数 (2)某时刻值出现是随机的 )某时刻值出现是随机的。 的过程

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随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的 时刻它是随机变量 X (t1 ) 。随机过程的具体取值 称作其实现 (样函数)是时间函数，所有实 现(样函数)构成的集合称作随机过程的样函 数空间 ，所有样函数及其统计特性即构成 了随机过程

X (t1 )

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样本空间X 1 (t )X 2 (t )

X (t1 ) t1状态

t 2 状态

X (t 2 )

一次实现

X n (t )

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2.2随机过程的一般表述 随机过程的一般表述一、随机过程的分布函数和概率密度函数 随机过程 的一维分布函数： 的一维分布函数： 表示概率 的一维概率密度函数： 的一维概率密度函数： 随机过程 维分布函数： 的n维分布函数： 维分布函数

的一维概率密度函数： 的一维概率密度函数：

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例1: 随机过程X (t )在t ∈ [0, ∞)上X (t )在[ 5,+5]上均匀分布 1.一维、二维分布函数F1 ( x1 , t1 ),F 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) 试求 : 2.一维、 二维概率密度函数f1 ( x1 , t1 ),f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) 0 x1 < 5 5 + x1 解 : F1 ( x1 , t1 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 ] = 5 ≤ x1 ≤ 5 10 1 x1 > 5 0 x1 < 5 F1 ( x1 , t1 ) 1 f1 ( x1 , t1 ) = = 5 ≤ x1 ≤ 5 x1 10 0 x1 > 5

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F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x2 ] x1、x 2 < 5 0 (5 + x1 )(5 + x2 ) = 5 ≤ x1、x 2 ≤ 5 100 1 x1、x 2 > 5 2 F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = x1 x2 F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = + x2 x1 0 x1、x 2 < 5 10 + x1 + x2 = 5 ≤ x1、x 2 ≤ 5 100 0 x1、x 2 > 5

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X (t )

X (t1 )

X (t 2 )

5

t0 5F1 ( x1 , t1 )F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

1

1

x1 51 10

x1 51 5

0

5

0

5

f1 ( x1 , t1 )

f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

x1 5

x10

0

5

5

5

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分布函数的物理意义： 分布函数的物理意义

:1。一维：随机变量在任一刻的状态小于或等于某一固定值的概率。 。一维：随机变量在任一刻的状态小于或等于某一固定值的概率。 2。n维：随机变量在任意 个时刻的状态都分别小于或等于 个固定值的概率。 。 维 随机变量在任意n个时刻的状态都分别小于或等于 个固定值的概率。 个时刻的状态都分别小于或等于n个固定值的概率

分布函数的性质： 分布函数的性质：1. F ( x)是一个不减函数 F ( x2 ) F ( x1 ) = P[ x1 < X ≤ x2 ] ≥ 0, x2 > x1 2. 0 ≤ F ( x) ≤ 1, 且x → ∞

F ( ∞) = lim F ( x) = 0, 不可能事件 F (∞) = lim F ( x) = 1, 必然事件x →∞

3.

F ( x)右连续， 即F ( x + 0) = F ( x)

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概率密度函数的物理意义： 概率密度函数的物理意义：分布函数的导数 反应分布函数的变化情况(即单位区间上的概率)。 反应分布函数的变化情况(即单位区间上的概率)。

性质： 1. f ( x) ≥ 0 2. 3. 4. 5.

∫ ∫

∞

∞

f ( x)dx = 1x ∞

F ( x) = ∫ f ( x)dxx2 x1

f ( x)dx = F ( x2 ) F ( x1 )

若f ( x) 在x处连续则有F ' ( x) = f ( x)

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二、 随机过程的数字特征随机过程 随机过程 的数学期望: 的数学期望 的方差: 的方差是时间函数， 是时间函数，表示随机过程所有样本函数的统计平均函数

X (t1 )

称为随机过程

的方差或均方差。 的方差或均方差。 的偏离程度。 的偏离程度。

它表示随机过程在 时刻对于均值

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例1: 随机过程X (t )在t ∈ [0, ∞)上X (t )在[ 5,+5]上均匀分布 试求 : 1.均值E[ X (t )] 2.方差D[ X (t )] 0 x1 < 5 5 + x1 解 : F1 ( x1 , t1 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 ] = 5 ≤ x1 ≤ 5 10 1 x1 > 5 0 x1 < 5 F1 ( x1 , t1 ) 1 f1 ( x1 , t1 ) = = 5 ≤ x1 ≤ 5 x1 10 0 x1 > 5 ∞ 5 1 1 5 2 E[ X (t )] = ∫ xf1 ( x1 , t1 )dx = ∫ x dx = ∫ dx =0 5 10 ∞ 20 5 D[ X (t )] = E{ X (t ) E[ X (t )]}2 = E[ X (t )]2 1 1 5 3 25 = ∫ x f1 ( x1 , t1 )dx = ∫ x dx = ∫ dx = ∞ ∞ 10 30 5 32 2 ∞ ∞

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X (t )

X (t1 )

X (t 2 )

55 3 3 5 3 3

t0F2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

5F1 ( x1 , t1 )

1

1

x1 51 10

5 3 3

x1 51 5

0

5

0

5

f1 ( x1 , t1 )

f 2 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )

x1 5

x10

0

5

5

5

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自相关函数： 自相关函数：

X (t )在t1和t 2时刻的相关程度为E{[ X (t )]2 }时相关程度最大

自协方差函数： 自协方差函数：

X (t )在t1和t 2时刻偏差的相关程度

为E{[δ (t )]2 }时相关程度最大

归一化协方差函数—相关系数： 归一化协方差函数 相关系数： 相关系数 若 或 则称 和 不相关

为1时相关程度最大

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例1: 随机过程X (t )在t ∈ [0, ∞)上X (t )在[ 5,+5]上均匀分布 试求 : 1自相关RX (t1 , t 2 ) 2自协方差C X (t1 , t 2 ) 3.相关系数ρ X (t1 , t 2 ) . . 0 (5 + x

1 )(5 + x1 ) 解 : F1 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = P[ X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x2 ] = 100 1 0 x1 < 5 2 F1 ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) 10 + x1 + x2 f1 ( x1 , t1 ) = = 5 ≤ x1 , x2 ≤ 5 x1 x2 100 0 x1 > 5 RX (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t1 )] = ∫∞ ∞ ∞ ∞ ∞

x1 < 5 5 ≤ x1 , x2 ≤ 5 x1 > 5

∫

∞

x1 x2 f1 ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2

5 5 5 10 + x1 + x2 10 + x1 + x2 250 = ∫ ∫ x1 x2 dx1dx2 = ∫ x2 ∫ x1 dx1dx2 = ∫ x2 dx2 = 0 ∞ ∞ 5 5 5 100 100 300 C X (t1 , t 2 ) = E{[ X (t1 ) E[ X (t1 )]][ X (t1 ) E[ X (t1 )]]} = E[ X (t1 ) X (t1 )] = 0

C X (t1 , t 2 ) ρ X (t1 , t 2 ) = =0 δ X (t1 )δ X (t2 )

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结论： 结论：1 数学期望 和方差 描述了随机过程在 各个孤立时刻的特征， 各个孤立时刻的特征，但没有反映随机过程不同 时刻之间的内在联系。 时刻之间的内在联系。 2 自相关函数 和自协方差函数 是用来衡量同一随机过程在任意两个时刻上的 随机变量的相关程度。 随机变量的相关程度。 3 相关函数 跟 t1 和 t 2的选择有关，若 t 2 > t1 的选择有关， 令 t 2 = t1 + τ 则可表示为 R(t1 , t1 + τ ) = R(τ ) ,即相关 函数依赖于起始时刻 t1及时间间隔 τ ,是 t1 和 τ 的函数。 的函数。

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三、两随机过程的联合分布函数和数字特征令: , 为两个随机过程 维随机向量的联合分布函数: 维随机向量的联合分布函数 1.联合分布函数和概率密度： 联合分布函数和概率密度： 联合分布函数和概率密度

2.

和

的

维联合概率密度: 维联合概率密度

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3.

和

相互独立的条件: 相互独立的条件 以及 应有： 应有：

对于任意(整数) 对于任意(整数) ,

即：

或：

4.两个随机过程的数字特征 两个随机过程的数字特征: 两个随机过程的数字特征 互相关函数: 互相关函数: 互协方差函数： 互协方差函数：若： 相互独立的 ， ,则称： 则称： 则称 和 不相关。 不相关。

必定不相关，反之，不一定。 必定不相关，反之，不一定。

对于正态随机过程，不相关和独立是等价的。 对于正态随机过程，不相关和独立是等价的。

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第二讲( ) 第二讲(2)

平稳随机过程

1.平稳随机过程的定义及数字特征 平稳随机过程的定义及数字特征 2.平稳随机过程的各态历经性 遍历性 平稳随机过程的各态历经性( 遍历性) 平稳随机过程的各态历经性 3.平稳随机过程的相关函数及功率谱密度 平稳随机过程的相关函数及功率谱密度 辛钦定理) (维纳—辛钦定理) 维纳 辛钦定理 4.平稳随机过程功率谱密度的性质 平稳随机过程功率谱密度的性质

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2.3 平稳随机过程一、平稳随机过程的定义: 平稳随机过程的定义如果对于任意 和 则称 以及 有：

为严平稳随机过程

,或称狭义平稳随机过程。 为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。 平稳随机过程的数学期望与时间无关 平稳随机过程的方差与时间无关

严平稳随机过程的数字特征： 二.严平稳随机过程的数字特征： 严平稳随机过程的数字特征

自相关函数和协方差函数只与时间间隔有关 若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关， 若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函 与有关，则称这个随机过程是狭义平稳的。 数仅 与有关，则称这个随机过程是狭义平稳的。

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宽平稳随机过程( 三.宽平稳随机过程(广义平稳) 宽平稳随机过程 广义平稳)为常数， 若 的数学期望 为常数，且自相关函 有关， 数 只与 有关，则称为 宽平稳随机过程，或称广义平稳随机过程。 宽平稳随机过程，或称广义平稳随机过程。 严平稳过程一定是宽平稳过程，反之，不一定。 严平稳过程一定是宽平稳过程，反之，不一定。 但对于正态随机过程两者是等价的 。 若不加特别说明， 若不加特别说明，平稳过程均指宽平稳过程。

联合宽平稳随机过程： 四. 联合宽平稳随机过程：若 ， 中： 是宽平稳过程， 是宽平稳过程，且 其 为联合宽平稳随机过程。 。则称 和 为联合宽平稳随机过程。