两基金分离定理

金融工程第三章

两基金分离定理与 资本资产定价模型

金融工程第三章

金融决策的核心问题是收益与风险的权衡 金融决策的核心问题是收益与风险的权衡 收益与风险 人们在高风险高收益和低风险低收益之间,按 人们在高风险高收益和低风险低收益之间 按 照自己对收益/风险的偏好进行权衡和优化 照自己对收益 风险的偏好进行权衡和优化 但是市场的均衡会导致与个体的收益/风险偏 但是市场的均衡会导致与个体的收益 风险偏 (或者说个体的效用函数 无关的结果,这是 或者说个体的效用函数)无关的结果 好(或者说个体的效用函数)无关的结果,这是 市场对市场参与者个体行为整合的结果

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现代证券组合理论的产生和发展在证券投资选择上,投资者必须同时关注收益 在证券投资选择上 投资者必须同时关注收益 和风险两个因素.然而 然而,尽管投资者可以对证券 和风险两个因素 然而 尽管投资者可以对证券 的收益和风险进行一定的分析和计算,但对预 的收益和风险进行一定的分析和计算 但对预 期的最高收益和所能负担的最大风险确是无 从确定的;同样 同样,虽然投资者知道分散化投资能 从确定的 同样 虽然投资者知道分散化投资能 够减少风险,同时也降低收益 但是,他们对于 同时也降低收益,但是 够减少风险 同时也降低收益 但是 他们对于 证券要分散到什么程度,才能达到高收益与低 证券要分散到什么程度 才能达到高收益与低 风险的最佳结合,也无法肯定的回答 风险的最佳结合 也无法肯定的回答

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现代证券组合理论正是一种关于在不确定条 件下的证券投资行为的理论. 件下的证券投资行为的理论 它研究并回答:在面对证券市场上各种各样的 它研究并回答 在面对证券市场上各种各样的 投资机会时,理性的投资者应该怎样做出最佳 投资机会时,理性的投资者应该怎样做出最佳 的投资选择,将可供投资的资金按合适的比例 将可供投资的资金按合适的比例, 的投资选择 将可供投资的资金按合适的比例 分散投资于多种不同的资产上,形成最理想、 分散投资于多种不同的资产上 形成最理想、 形成最理想 最满意的证券组合，实现投资效用的极大化。 最满意的证券组合，实现投资效用的极大化。

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现代证券组合理论的创始者是美国经济学家 哈里·M·马柯维茨 马柯维茨(Harry M.Markowiz)。他于 哈里 马柯维茨 。 1952年在美国的《金融杂志》上发表的具有 年在美国的《 年在美国的 金融杂志》 历史意义的论文《证券组合选择》 历史意义的论文《证券组合选择》,以及 1959年出版的同名专著，阐述了证券收益和 年出版的同名专著， 年出版的同名专著 风险分析的主要原理和方法， 风险分析的主

要原理和方法，奠定了对证券 选择的牢固理论基础。 选择的牢固理论基础。由于马柯维茨在这方 面的开创性贡献，他被授予了1990年诺贝尔 面的开创性贡献，他被授予了 年诺贝尔 经济学奖。 经济学奖。

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马柯维茨有关证券组合理论的中心观点是:认 马柯维茨有关证券组合理论的中心观点是 认 为投资者的投资愿望是追求高的预期收益， 为投资者的投资愿望是追求高的预期收益， 并尽可能地规避风险。因此， 并尽可能地规避风险。因此，对于一种证券 组合，不仅是重视预期收益， 组合，不仅是重视预期收益，而且也要考虑 所包含的风险。 所包含的风险。 马柯威茨的证券组合理论回答了在既定风险 水平的基础上， 水平的基础上，如何使证券的可能预期收益 率极大，或为获得既定的预期收益率， 率极大，或为获得既定的预期收益率，如何 使承担的风险极小。 使承担的风险极小。

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但是， 但是，应用马柯威茨的分散原理去选择证券 组合，需要大量而繁重的计算工作， 组合，需要大量而繁重的计算工作，投资者 必须计算每一种证券的期望收益及其离差， 必须计算每一种证券的期望收益及其离差， 以及各种证券之间的相关度， 以及各种证券之间的相关度，而且证券市场 特别是股票市场上的价格变动十分频繁， 特别是股票市场上的价格变动十分频繁，价 格一有变化， 格一有变化，现有的证券组合与市场上的其 他证券的风险—收益关系也将发生一系列的 他证券的风险 收益关系也将发生一系列的 改变。 改变。为了保持组合所包括证券的满意的风 收益关系， 险—收益关系，整个计算程序又需要重新进 收益关系 行一次。 行一次。

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美国的另一位经济学家威廉·F·夏普( 美国的另一位经济学家威廉 夏普(William 夏普 F . shape)发展了马柯维茨的理论，他于 )发展了马柯维茨的理论， 1963年发表了一篇题为《证券组合分析的简 年发表了一篇题为《 年发表了一篇题为 化模型》的论文， 化模型》的论文，新辟了一条简捷的证券组 合分析途径。他认为， 合分析途径。他认为，只要投资者知道每种 证券的收益同整个市场收益变动的关系， 证券的收益同整个市场收益变动的关系，不 需要计算每种证券之间的相关度，就可以达 需要计算每种证券之间的相关度， 到马柯威茨须用计算机计算的复杂模型才能 得到的相似结果， 得到的相似结果，大大简化了进行证券组合 分析所必需的数据类型和输入量， 分析所必需的数据类型和输入量，也大大简 化了计算最佳证券组合所必需的计算程序。 化了计算最佳证券组合所必需的计算程序。

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夏普在

发展证券组合理论上的另一贡献是他 和约翰·林特纳 林特纳、 莫森一道 莫森一道， 和约翰 林特纳、简·莫森一道，创立了具有广 泛应用价值的资本市场理论，又称资本资产 泛应用价值的资本市场理论，又称资本资产 定价模型。由于夏普的贡献，他在1990年与 定价模型。由于夏普的贡献，他在 年与 马柯威茨同时被授予你诺贝尔经济学奖。 马柯威茨同时被授予你诺贝尔经济学奖。值 得注意的是，在夏普等提出CAMP模型的同 得注意的是，在夏普等提出 模型的同 时，斯蒂芬·A·罗斯提出了另一种被认为是解 斯蒂芬 罗斯提出了另一种被认为是解 释资产定价新方法的“套利定价理论” 释资产定价新方法的“套利定价理论”。这 一理论认为预期收益是与风险紧密相连以至 于使得任何一个投资者都不可能通过套利活 动无止境地获取收益。 动无止境地获取收益。

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投资组合的选择狭义含义： 狭义含义：如何构筑各种有价证券的头寸 包括多头和空头) (包括多头和空头)来最好的符合投资者的 收益和风险的权衡 广义含义： 广义含义：包括对所有资产和负债的构成做 出决策， 出决策，甚至包括对人力资本的投资在内

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投资组合的选择尽管存在一些对理性的投资者来说应当遵循的一般 性规律，但在金融市场中， 性规律，但在金融市场中，并不存在一种对所有的 投资者来说都是最佳的投资组合或投资组合的选择 策略，因为： 策略，因为： 1)投资者的具体情况 对市场变动的敏感性不同 对市场变动的敏感性不同) )投资者的具体情况(对市场变动的敏感性不同 2)投资周期的影响 ) 3)对风险的厌恶程度 ) 4)投资组合的种类 ) 投资组合理论给出了选择投资组合的指导性思路

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预期收益和风险的权衡收益与风险权衡的优化目标是按照投资者愿 意接受的风险程度使预期收益达到最大 投资组合理论的基本思想是通过分散化的投 资来对冲掉一部分风险 预期收益率：收益期望 预期收益率：收益期望 风险的测量：收益率方差 风险的测量：收益率方差 相关概念：协方差， 相关概念：协方差，相关系数

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两项资产组合收益和风险情况期望 资产1 资产 资产2 资产E ( r1 )E (r2 )

风险σ σ1

比例w

2

1 w

E (r ) = wE ( r1 ) + (1 w) E (r2 )

(1 w)2 σ 22 + 2 w(1 w) ρσ1σ 2 σ =wσ +2 2 2 1

ρ 是相关系数

1 ≤ ρ ≤ +1

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相关系数本身只是描述两项资产价格变化的 一种趋势，我们并不能以此为依据， 一种趋势，我们并不能以此为依据，判断任 何一次某项资产的变化， 何一次某项资产的变化，必然引发另外一项 资产价格按照相关系数的值出现同比例的变 动

两项资产价格变动存在的相关系数并不代表 这两项资产的价格会在任何时候都保持严格 的线性关系

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项有风险资产和1项无风险资产的组合 情况 1: 1项有风险资产和 项无风险资产的组合 项有风险资产和E (r2 ) = rf ,σ 2 = 0

E ( r ) = rf + w E (r1 ) rf

假设 rf 合的构成和风险将是如何？ 合的构成和风险将是如何？E (r ) rf

σ = wσ 1 = 6%, E (r1 ) = 14%,σ 1 = 20% E (r ) = 11% 组11% 6% = 62.5% 14% 6%

[

]

w=

E (r1 ) rf

=

w=

E (r1 ) rf

E ( r ) rf

σ = wσ 1 = 62.5% × 20% = 12.5%

E ( r ) = rf

[ E (r ) r ] σ +1 f

这个投资组合是不是有效组合 ?

σ1

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在一指定的风险水平， 在一指定的风险水平，如果一投资组合可能 获得最大的预期收益， 获得最大的预期收益，则这一投资组合被称 为有效组合 上述组合不是有效组合， 上述组合不是有效组合，因为我们还可以在 这个投资组合里再加入有风险资产， 这个投资组合里再加入有风险资产，进行风 险的分散化

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风险的分散化情况 2: 2项有风险资产的组合 项有风险资产的组合

[ wσ

1

(1 w)σ 2

]

2

≤ σ ≤ wσ1 + (1 w)σ 22

[

]

2

ρ <1

σ < wσ1 + (1 w)σ2资产1 资产 资产 2 0.08 0.15 0.6

预期收益率 标准差 相关系数

0.14 0.20

将多项有风险资 产组合到一起， 产组合到一起， 可以对冲掉部分 风险而不降低平 均的预期收益率

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考虑以下几种组合的情况： 考虑以下几种组合的情况：组合标记 投资于资产 投资于资产 组合的预 期收益率 2的比例 的比例 1的比例 的比例 R C 最小方差组 合 D S 0 10% 17% 50% 100% 100% 90% 83% 50% 0 8% 8.6% 9.02% 11% 14% 组合的标准 差 0.15 0.1479 0.1474 0.1569 0.20

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最小方差组合中投资于资产1 的比例由下式求出： 最小方差组合中投资于资产 的比例由下式求出：

wmin

σ ρσ 1σ 2 = 2 2 σ 1 + σ 2 2 ρσ 1σ 22 2

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双曲线

E (r ).1400 .1100 最小方差 组合 D S

.0902 .0860 .0800 0 .1479 C R .1500 .1569

σ.2000

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例：组合的预期收益和风险假设我们要构造一个能源投资的组合， 假设我们要构造一个能源投资的组合，我们 选择了CT石油公司和 燃料公司。 石油公司和BA燃料公司 选择了 石油公司和 燃料公司。由于燃 料电池提供了替代汽油的清洁能源，所以， 料电池提供了替代汽油的清洁能源，所以， 这两家公司的股票价格运动方向相反， 这两家公司的股票价格运动方向相反，设相 关系数为-0.4,对两家公司各投资 关系数为 ，对两家公司各投资50%,CT , 公司股票的标准差和预期回报为分别为18%, 公司股票的标准差和预期回报为分别为 ， 21%,BA公司股票的标准差和预期回报为分 ， 公司股票的标准差和预期回报为分 别为16%,15%,

求解组合的标准差和预期 别为 ， , 回报； 回报；求解最小方差组合中的资产比例以及 组合的标准差和预期回报。 组合的标准差和预期回报。