角动量算符的本征值方程求解

第23卷第6期2010年12月高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) Vol.23No.6 2010

大学教学

角动量算符的本征值方程求解

何崇荣

(武汉市黄陂区第一中学,武汉430300)

摘 要:通过旋转坐标系,在新的坐标系下,L^x,L^y的表示形式与旧坐标系中L^z的表示形式一致,L^2算符在新旧坐标系中表示形式没有改变。因此,L^x,L^y的本征值方程得到简化,从而容易求解。另外,本文也给出了(L^x,L^2),(L^y,L^2),(L^z,L^2)各自共同本征函数之间的转化公式,便于求解角动量的平均值、可能值以及取值几率。

关键词:角动量算符;共同本征函数;本征值方程中图分类号:O413

文献标识码:A 文章编号:1006-7353(2010)06-0039-03

2

0, 1, 2#),Ylm( , );m ,l(l+1) 。

在参考文献[1]、[2]等教材中只给出了L^z和L^2

算符的本征值方程的解,L^x,L^y算符的本征值方程是偏微分方程,直接求解比较困难。本文利用求解L^z和L^2算符本征值方程的思路,通过坐标系旋转,使得^x,LL^y的本征值方程简化,且易于求解。1角动量算符的本征值方程

角动量算符L=r!p在直角笛卡儿坐标中的三个分量:

L^x=yP^z-zP^y=(y-z)

iL^y=zP^x-xP^z=(z-x)

i x z

L^z=xP^y-yP^x=(x-y)

i角动量平方算符:L^2=L^2x+L^2y+L^2z=(yP^z

-zP^y)2+(zP^x-xP^z)2+(xP^y-yP^x)2。1.1L^z和L^算符的本征值方程的求解

利用球极坐标来表示L^z和L^2算符,得到:

2

L^z=-i L^2=- [(sin)+

sin 2

]

sin此时L^z,L^2算符本征值方程容易求解。解得它们

im

的本征函数、本征值分别是:!m( )=(m=

2

2

^

^

^

由于[L^2,L^z]=0,因此它们有共同的本征函数。显然L^zYlm( , )=m Ylm( , ),所以Ylm( , )是L^z与L^2算符的共同的本征函数。1.2L^x算符的本征值方程求解

在旧坐标系中,L^x的的本征值方程是偏微分方程,直接求解比较困难。通过旋转坐标系,使新

坐标系的z 轴与x轴重合(见图1)。则新旧坐标之间的关系为:x =y,y =z,z =x对应的球极坐标之间的关系为:

r=r ,sin cos =sin sin ,sin sin =cos ,cos =sin cos (1)

那么在新的坐标系下,角动量算符各分量表达式变为:

L^x =x P^y -y P^x L^y =y P^z -z P^y

L^z =z P^x -x P^z

角动量平方算符:

L^ 2=^L2x +L^2y +^L2z =(x P^y -y P^x )2+(y P^z -z P^y )2+(z P^x -x P^z )2

由此可见,在新坐标系中,L^2的表示形式与旧坐标系中表示形式一致,L^x的表示形式与旧坐标系中L^z表示形式一致,因此,可以用新坐标系

收稿日期:2010-10-20.

作者简介:何崇荣(1985 ),男,湖北省武汉市人,中教二级,研究方向:中学物理教学.