角动量算符的本征值方程求解(3)

第23卷第6期2010年12月高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) Vol.23No.6 2010

m =-l

lll

l

m [2mi

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( ,

几率与平均值。

解 在#态下,要求L^x的可能取值,取值几率与平均值,只需要将#按(L^x,L^2)的共同本征函数族展开,利用(7)式得到:

Y11( , )=C-1Y1-1( , )+C0Y10( , )+

C1Y11( , )=[(C-1-C1)Y10( , )+

2i

C0Y11( , )-C0Y1-1( , )]0

=-C1,再由Y11( , )2的归一化得:|C0|=取C0=所以Y11( , )=

2

[Y1-1( , )-Y11( , )]+Y10( , )22

比较系数得:C-1=同理得Y20( , )Y2-2( , )]-=-[Y22( , )+

4

)-m =-l

l,m -1( , )]=

(7)

Cm Ylm ( , )Ylm( %, %)=

m =-l

Cm [

2m

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( ,

)+

m =-l

l,m -1( , )]=

(8)

Cm Ylm ( , )

同样通过比较系数以及波函数的归一化,可以求出各个系数Cm 。

图3中xyz坐标系似为旋转之后的坐标系,在xyz坐标系下可以求得(L^x,L^),(L^z,L^)共同的本征函数按(L^y,L^)共同的本征函数族展开表

达式,即

Ylm( , )=

m =-l

2

2

2

Y20( , )2

lll

l

后面的具体求解过程省略。

例2 在t=0时,氢原子的波函数为:

100+#210+211+21-1)#(r!,0)=2#2#3#10

其中下标指量子数n,l,m的值,忽略自旋和辐射跃迁。

求:假设一次测量发现,L=1,Lx=1用上面#nlm描述这一测量后瞬间的波函数。

解 根据题意,实际上就是要将Y11( , )按(L^z,L^2)共同本征函数族展开,利用

(4)式,将m=1,l=1代入,通过比较系数,

得:C1==C-1,

m [2mi

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( %,

%)-m =-l

l,m -1( %, %)]=

(9)

Cm Ylm ( %, %)Ylm( , )=

m =-l

Cm [

2m

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( %,

%)+

m =-l

l,m -1( %, %)]=

(10)

2

2

2

Cm Ylm ( %, %)

到这里,(L^x,L^),(L^y,L^),(L^z,L^)各自共同的本征函数之间的相互转化得以实现,它们之

间的转化也可以利用各自坐标系中与(1)式类似的式子和欧拉公式来实现。

3(L^x,L^)共同的本征函数与(L^z,L^)共同的本征函数之间转化方法应用

应用上述的转化方法,可以得到当体系处于某一态,可以是(L^x,L^2),(L^y,L^2),(L^z,L^2)各自共同本征函态或者是它们共同本征态叠加态时,可以计算角动量的可能取值以及取值几率,平均值等。

例1 设体系处于=C1Y11( , )+C2Y20( , )且|C1|2+|C2|2=1,求L^x的可能取值,取值

2

2

再由波函数的归一化得C0=取C0=于是得到:Y11( , )=Y1-1( , )+

2Y10( , )]。

参考文献

[1]汪德新.量子力学[M].武汉:湖北科学技术出版社,

2000:85-90.

[2]张永德.量子力学[M].北京:科学出版社,2002:94

-97.

[Y11( , )+2