抽象函数图象的对称问题 专题辅导 不分版本(2)

的平移方向和长度是相同的，故函数y f(a x)与函数y f(b x)的图象关于直线x b a对称。 2

三、设y f(x)是定义在R上的函数，若f(a x) 2c f(b x)，则函数y f(x)的图象关于点 a b ，c 对称。 2

证明：设点Am，n是y f(x)图象上任一点，则f(m) n，点A关于点 a b ，c 2 的对称点为A'a b m，2c n。

∵f(a b m) 2c f b (b m) 2c f(m) 2c n

∴点A'也在y f(x)的图象上，故y f(x)的图象关于点 a b ，c 对称 2

说明：（1）当a b c 0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。

四、设y f(x)是定义在R上的函数，则函数y f(a x)与函数y 2c f(b x)的图象关于点

b a ，c 对称。 2 证明：设点A（m，n）是y f(a x)图象上任一点，即f(a m) n，点A关于点 b a ，c 的对称点为A' b a m，2c n 2

∵2c f b b a m 2c f a m 2c n ∴点A'在y 2c f b x 的图象上

反过来，同样可以证明，函数y 2c f(b x)图象上任一点关于点 b a ，c 的对称 2

点在函数y f(a x)图象上。

故函数y f(a x)与函数y 2c f(b x)的图象关于点 说明：此命题同样可以从图象变换的角度去理解。 b a ，c 对称。 2