光学成像系统的频率特性(2)

衍射受限的相干成像系统物通过衍射受限系统后的像的复振幅分布是__________ 理想像 和 点扩散函数的卷积 __________ H c ( f x , f y ) P( d i f x , d i f y ) 相干照明下衍射受限成像系统的脉冲响应为光瞳函数的傅里叶变换 ______________ 光瞳函数 CTF 在反射坐标系下它就等于_________ 相干传递函数记作______,

出瞳为边长a的正方形,

a f cut 沿边长方向的截止频率为__________ 2 d i

d i f y d i f x H c f x , f y rect rect 其相干传递函数:______________________ a a

D f cut 2 d i 出瞳为直径D的圆形孔径, 沿各个方向的截止频率为____________

§3.4 衍射受限系统的非相干传递函数1、非相干成像系统的光学传递函数(OTF)照明光源的相干性问题: 物理图像 相干照明: x0 A B y0 非相干照明:

xiA

x0

xi

Black Box

B’yi A’

By0

Black Box yi

B’ A’

A, B两点光振动相干, 则引起的以A’, B’ A.B 两点在像面上某点引起的复振幅没 为中心的两个分布也相干. 应将其干涉 有确定的位相关系。观察到的强度是多 图样求出后,再作模方求强度。 个像点强度的叠加，即非相干叠加。

本节的目的：确定在非相干照明下，某一给定的物强度分布 通过衍射受限系统后，在像平面上形成的像强度分布。

§3.4 衍射受限系统的非相干传递函数1、非相干成像系统的光学传递函数(OTF)非相干成像系统是光强度的线性空不变系统 在非相干照明下物像关系可以表示为(空域):

I i xi , yi k I g ~ x0 , ~ y0 hI xi ~ x0 , yi ~ y0 d~ x 0 d~ y 0 kIg xi , yi hI xi , yi

像强度 分布

实 常 数

物强度 分布 (几何像)

强度脉 冲响应

也称为非相干脉冲响应、 强度点扩展函数，是点物 产生的衍射斑的强度分布

2 ~ 光强脉冲响应hI(xi,yi)与复振幅点扩展函数的关系:hI xi , yi h xi , yi

~ ~ ~ ~ 在相干照明时,复振幅变换 h x , y ; ~ x , y h x x ; y y0 i i 0 0 i 0 i 的脉冲响应可写为 相干成像系统是光场复振幅的线性空不变系统 非相干成像系统是光强度的线性空不变系统

1、非相干成像系统的光学传递函数(OTF)I i xi , yi k I g ~ x0 , ~ y0 hI xi ~ x0 , yi ~ y0 d~ x 0 d~ y 0 kIg xi , yi hI xi , yi

非相干成像系统是强度变换的线性空不变系统. 物像关系满足卷积积分. 像强度分布是物体上所有的点源产生的像斑按强度叠加的结果为了考察衍射受限系统在非相干照明下成像的频率响应特性, 可以对空域关系式作F.T.求像的频谱.(忽略常系数)

Ii(xi,yi) = Ig(xi,yi) * hI(xi,yi)F.T.

Ai(f

x,fy) = Ag(fx,fy) . HI(fx,fy)理想像(输入) 强度频谱 传递函数

F.T.

F.T.

实际像(输出) 强度频谱

§3.4 衍射受限系统的非相干传递函数1、非相干成像系统的光学传递函数(OTF)实际上我们并不关心像的总强度(包括零频分量在内),而是关心其变 化程度(即携带信息的那部分光强相对于零频分量的比值)所以可 以对以上各个频谱函数,用各自的零频分量进行归一化处理.令零频处取值为1, 而变化部分(非零频分量)取值即为相对零 频值的大小， 即获得归一化频谱: i fx, fy

Ai f x , f y Ai 0,0

I x , y exp j 2 f i i i

x

xi f y yi dxi dyii i

I x , y dx dyi i i

g f

x

, fy

Ag f x , f y Ag 0,0

I x , y exp j 2 f g i i

x i

x f y yi dxi dyii i

I x , y dx dyg i i

§3.4 衍射受限系统的非相干传递函数1、非相干成像系统的光学传递函数(OTF)Ai(fx,fy) = Ag(fx,fy) . HI(fx,fy)定义: 光强点扩展函数的归一化频谱为光学传递函数 Optical Transfer Function, OTFHo f x , f y HI fx, fy H I 0,0 h x , y exp j 2 f I i i x

归一化频谱

xi f y yi dxi dyii i

h x , y dx dyI i i

这些归一化频谱仍然满足关系式: . ( f ,f ) = ( f ,f ) Ho(fx,fy) i x y g x y

OTF是比CTF 用得更为广泛的函数,描述非相干成像系统在频域 的效应，已成为光学仪器业评价镜头质量的重要手段.

§3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 2、OTF与CTF 的关系光学传递函数与相干传递函数分别描述同一系统采用非相干和相干 照明时的传递函数，它们都决定于系统本身的物理性质。2 ~ h ( x , y ) i i hI xi , yi H o ( , ) H I ( , ) / H I (0,0) 2 ~ h ( x , y ) dx dy I i i i i h ( xi , yi ) dxi dyi

自相关定理 帕色伐定理 光学传递函数等于同一 系统相干传递函数的归 一化自相关函数。

H c ( , ) H c ( , )d d

H c ( , ) d d

2

H c ( , )★H c ( , ) H c ( , )★H c ( , ) 0, 0

这一结论对有 像差的系统和 没有像差的系 统都完全成立

§ 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTFHc 对于衍射受限系统，已知 ：把它代入前式，得到：

f , f P d f , d f 是光瞳函数x y i x i yi i x

Ho f x , f y

P( d , d ) P[( d ( fi

), d i ( f y )]d

d

2 P ( d i , d i )d d

x λdi , y λdi Ho ( f x , f y )

P( x, y) P( x λd fi

x

, y λdi f y )dxdy

P( x, y)dxdy

对于光瞳函数只有1和0两个值的情况，分母中的P2可以写成P。 上式表明衍射受限系统的OTF是光瞳函数的自相关归一化函数。

Ho

光瞳总面积s0 两个错开光瞳的相对位置, 与指定空频分量相对应.

P x, y P x d f , y d f dxdy f , f P x, y dxdy 两个错开光瞳的重叠面积s f ,f H f ,f i x i y x yx y o x y

衍射受限的OTF: 几何解释

光瞳为简单函数时,OTF可以直接计算,复杂情况时要用面积仪 或计算机.

§ 3.4衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF x y 例1.出瞳为边长l 的正方形: P( x, y) rect rect l l

Ho ( f x , f y )

s( f x , f y ) s0

fx 2f cut

fx 2f cut

f : 相干截止频率 cut

OTF的截止频率是CTF的两倍

§ 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF 例2: 出瞳是直径为D的圆形孔径沿fx轴计算:

cos = difx/D

Ho ( f x , f y )

s( f x , f y ) s0

2

( sin cos )

2 2 , 2 0 1 cos 1 H o ( ) 2 0 2 0 2 0 其它 0

fx2 f y2以上两例都可以 看出,OTF的截止 频率是相同光瞳 的CTF截止频率 的二倍

§3.4衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF: OTF的一般性质1. Ho(0,0)=1由于 Ho(fx, fy) 是光瞳函数的归一化自相关函数， 定义本身保证了这一性质的成立。2.|Ho (fx, fy)| ≤ |Ho(0, 0)|

这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于完全重 叠面积得出。3. Ho(fx, fy)有一截止频率。当fx, fy足够大，两光瞳完全分离 时，重叠面积为零。此时 Ho(fx, fy) =0,即在截止频率所 规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些 频率成分。

§3.4衍射受限系统的非相干传递函数 调制传递函数(MTF)Ho(fx, fy)一般为复函数, 可写为 Ho(fx, fy) = m(fx, fy)exp[jf(fx, fy)] 其中 m(fx, fy)(即OTF的模) 称为调制传递函数MTF (Modulation Transfer Function) 相应地, f(fx, fy)称为相位传递函数。

m( f x ,f y )

H I ( f x ,f y ) H I (0,0)i

i g

( f x ,f y ) ( f x ,f y )

描写了系统对各频率分 量对比度的传递特性 描述了系统对各频 率分量施加的相移

φ ( f x , f y ) φ ( f x , f y ) φ g ( f x , f y )

对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数), OTF是实函数, 故OTF=MTF.

§3.4衍射受限系统的非相

干传递函数 调制传递函数(MTF)MTF的重要性调制度 modulation , 又称为对比度、反衬度 是评价像质的定量方法之一。 像的调制度V的定义:

IM Im V IM Im

IM : 最大光强 Im : 最小光强

V=

0, 即IM= Im,像面光强无变化;1, 即Im=0,对比度最高, 条纹结构最清晰。

0<V<1#

§3.4衍射受限系统的非相干传递函数 调制传递函数(MTF)例如：光强分布为余弦型 I x B A cos 2 f x x

( B A)

B A B A 2 A A V B A B A 2 B B

为余弦振幅与均值之比

所以均值为1(B=1) 的余弦型光强变化幅度A就是调制度。 可以证明：

输出像的调制度 MTF 输入像的调制度

3 、衍射受限的OTFM=1的非相干成像系统 di = 2f = 10cm, = 10-4cm 光阑缝宽l=2cm 物体的强度透过率:

例3

t 0 ~ x0

n

理想 ~ x nd 0光栅

(无限窄的单缝∥y0轴的阵列，周期d = 0.01mm)求像的强度分布.

思路: 首先求出物(几何像)强度的频谱,并确定系统的OTF与 截止频率 在通频带内对于每个物频谱分量求出OTF的值 求出像频谱 综合出像强度 解: (1) M=1, 单位强度的平面波垂直照明.几何光学理想像分布 等于物体的强度透过率. Ig(x0)=∑δ(x0-nd)(2) 输入的归一化频谱:n g f x f x d n

1 100周 / mm d

§ 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF 例3(3) 系统的OTF: Ho (fx) = tri(fx/2f0) f0 = CTF的截止频率= l/(2 di) ∵M=1. di=2f=10cm. 截止频率2f0 = l/ di = 200周/mm

(4) 输入的归一化频谱中有三项通过: fx = 0, + 100周/mm, 相应的OTF值: tri(0)=1, tri(+1/2)=1/2 (5)输出的归一化强度频谱:i f x

1 1 1 f H f f f f x g x o x x x 2 d d

(6)像面光强分布x x x 1 I i xi 1 exp j 2 i exp j 2 i 1 cos 2 i 2 d d d

调制度m=1 的余弦条纹

与理想几何像相比, 光栅线仍能分辨, 但清晰度降低

§ 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF 例3

与理想几何像相比, 光栅线仍能分辨, 但清晰度降低

如果2f0<1/d,将看不到光栅像.

对比相干成像系统， 像强度分布： Ii(xi) = |Ui(xi)|2

本例中基频传递值小于零频, 保证了像面强度值非负.

§3-5 相干与非相干成像系统的比较 Review相干成像i i i 像的 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 空 复振幅 U g ~ x , y h x x , y y d x d 0 0 i 0 i 0 0 y0

非相干成像

U (x , y )

域

像强度 I i ( xi , yi ) U i ( xi , yi )2

I i ( xi , yi )2 ~ ~ ~ ~ ~ I g

x0 , y0 h xi x0 , yi y0 d~ x0 d~ y0

复振幅 Gi ( f x ,f y ) Gg ( f x ,f y ) H C ( f x ,f y ) 频 频谱像强度 I i Gi ( f x , f y )★ Gi ( f x , f y ) 频谱 (Gg H ) ★ (Gg H ) 域i

( fx, fy )

g

( fx , f y ) Ho ( fx , f y )

(归一化)

§3-5 相干与非相干成像系统的比较 Review (续)相干成像 传递 CTF P( d i f x , di f y ) 频 函数 理想 带通滤波器 非相干成像P( , ) P( d f , d OTF P( , )d d i x i

f y )d d

两错开光瞳的重叠面积 光瞳总面积

有衰减的低通滤波器, MTF=|OTF|<1 截止频率: CTF 由光瞳函数决定 边长l的方瞳: f cut 域 直径l的圆瞳: f cut l 2 d i l 2 d i

扩展到CTF的二倍l f cut ' d i

l f cut ' d i#

成像质量要做具体分析, 主要从频域考虑