高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学(17)

高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学

A点处椭球面的法线，i为入射角，r为折射角。根据椭圆的性质，法线BN平分，故与法线的夹角也是r，由正弦定律可得
　　 ，
　　从而可求得
　　
　　2a为长轴的长度，2c为焦点间的距离；即只要n满足以上条件，任意入射角为i的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于C（即）点。
　　（2）如果透镜置于折射率为的介质中，则要求
　　
　　即椭圆的偏心率e应满足
　　由于椭圆的e＜1，如果就无解。只要 ，总可以找到一个椭球面能满足要求。
　　例4、（1）图1-4-16所示为一凹球面镜，球心为C，内盛透明液体。已知C至液面高度CE为40.0cm，主轴CO上有一物A，物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。
　　（2）体温计横截面如图1-4-17所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数。
　　解: （1）主轴上物A发出的光线AB，经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，只要BD延长线经过球心C，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光线相交于A（图1-4-18）。
　　对空气、液体界面用折射定律有
　　
　　
　　当光圈足够小时，B→E，因此有
　　
　　（2）先考虑主轴上点物A发出的两条光线，其一沿主轴方向ACOE入射界面，无偏折地出射，进入人眼E。其二沿AP方向以入射角i斜入射界面P点，折射角为r。折射光线PQ要能进入人眼E，P点应非常靠近O点，或说入射角i 折射角r应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律可写为。这两条光线反向延长，在主轴上相交于，即为物A之虚像点（图1-4-19）
　　对用正弦定律，得
　　
　　在小角（近轴）近似下：
　　，
　　
　　上式可写为
　　解上式得
　　为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB，即然是一对共轭点，只要选从B发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过垂轴线相交于，是点物B虚像点，即是物AB之正立虚像。
　　选从B点发出过圆柱面轴心
C之光线BC。该光线对界面来说是正入射（入射角为零），故无偏折地出射，反向延长BC线交过垂轴线于，从得
　　放大率=
　　例5、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿轴放置一细条形发光体（离球心较近），其长度为L=0.020m。若