71为什么要证明(2)

三、展示拓展

1．推理证明的必要性

给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结

果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确．

实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时

是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据

地进行推理．

谈重点证明的必要性

(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；

(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；

(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；

(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质．

【例1】观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？

解析：仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看到的并一定可靠，眼睛有时会产生一些错

觉．本例中感觉左图中间的圆圈好像比右图中间的圆圈要小一些，实际上这两个圆圈是一样大

的．

答案：一样大

2．检验数学结论常用的方法

(1)检验数学结论常用的方法

主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体

到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证

明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行

严格的推理证明才能得出．

检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．

(2)应用

检验数学结论常用的三种方法的应用：

实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正

确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结

论是不正确的．

【例2－1】我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.

试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b?

分析：通过举反例，找出使a×b＝a＋b不成立的a，b的值，就可以得出答案．

解：3×2＝6，而3＋2＝5，

因为6≠5，

所以不是任意数a与b，

都有结论a×b＝a＋b.

【例2－2】如图，在▱ABCD中，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE的位置关

系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．

分析：由图可知位置关系应为平行，而数量关系则为相等，用推理的方式说明理由即可．

解：DF∥BE，D F＝BE.理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC＝∠BEA＝90°，故DF∥BE.

由AB∥CD，得∠DCF＝∠BAE.

又A B＝CD，∠CFD＝∠AEB＝90°，

所以△DCF≌△BAE.

所以DF＝BE.

点评：观察只是猜测其结论，只有推理才能说明其结论的正确性．

3．推理的应用

推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：

(1)规律探究

给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明．这

是规律归纳类题目的特点．

解题思路：

解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想．代数规律题一般用

式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论．

(2)推理在日常生活中的应用

生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信

息是否可靠等．我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真伪，从而作出

判断．

四、检测反馈

1.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？

五、归纳总结

教

学

反

思