信号与系统 第七章

7.1 系统函数与系统特性 一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即 B( ) H ( ) A( ) A(.)=0的根p1,p2,…,pn称为系统函数H(.)的极点； B(.)=0的根 1, 2,…, m称为系统函数H(.)的零点。 将零极点画在复平面上 jω 得零、极点分布图。 j例 H ( s) 2( s 2) ( s 1) 2 ( s 2 1)(2) -1 -2 0 -j σ

例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求 H(s)的表达式。 jω

解：由分布图可得H ( s) Ks Ks ( s 1) 2 4 s 2 2s 5-1

j2 0 -j2 σ

根据初值定理，有Ks 2 h(0 ) lim sH ( s) lim 2 K s s s 2 s 5H ( s) 2s s 2 2s 5

二、系统函数H(· )与时域响应h(· )冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。

下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。 所讨论系统均为因果系统。1.连续因果系统 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平 面、虚轴和右半开平面三类。 (1)在左半平面 (a) 若系统函数有负实单极点p= –α(α>0),则A(s)中有因 子(s+α),其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)

(b) 若有一对共轭复极点p12=-α±jβ,则A(s)中有因 子[(s+α)2+β2]--- K e-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c) 若有r重极点， 则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r,其响应为 Kiti e-αtε(t)或Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r-1) 以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。(2)在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ, 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r,其响应函数为 Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数

(3)在右半开平面 ：均为递增函数。 综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。 即当t→∞时，响应均趋于0。

②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所 对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。

2.离散因果系统 H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z与s的对应关系，有结论： ①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。 ③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均 趋于∞。

三、系统函数收敛域与其极点之间的关系根据收敛域的定义，H(· )收敛域不能含H(· )的极点。

例：某离散系统的系统函

数z z H ( z) z 0.5 z 3

(1) 若系统为因果系统，求单位序列响应h(k); (2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k); (3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);解 (1) |z|>3,h(k) =[(-0.5)k + (3)k] (k) (2) |z|<0.5,h(k) =[-(-0.5)k - (3)k] (-k-1) (3) 0.5<|z|<3,h(k) = (-0.5)k (k) - (3)k (-k-1)

7.2 一、因果系统

系统的稳定性

因果系统是指，系统的零状态响应yf(.)不会出现 于f(.)之前的系统。

连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0

二、系统的稳定性1、稳定系统的定义

一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有 界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的 系统，简称为稳定系统。 即，若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ,其零状态响应 |yf(.)|≤My,则称该系统稳定。(1)连续系统稳定的充分必要条件是

| h(t ) | dt M

若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。

(2)离散系统稳定的充分必要条件是k

| h(k ) | M

若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。 例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求h(k),并判断是否稳定。 (2) 若为稳定系统，求h(k).解z 1 z z 0.4 z 0.4 z H ( z) 1 1.5z 1 z 2 z 2 1.5z 1 ( z 0.5)(z 2) z 0.5 z 2

(1)为因果系统，故收敛域为|z|>2,所以 h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k),不稳定。 (2)若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2,所以 h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)

因果系统稳定性的充分必要条件可简化为(3)连续因果系统

| h(t ) | dt M0

因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。 故，若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定 的因果系统。 (4)离散因果系统

| h(k ) | Mk 0

因为因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数。 故，若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定 的因果系统。

例1:如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系 统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/[(s+1)(s+2)]

解：设加法器的输出信号X(s) X(s)=KY(s)+F(s)

F(s)

∑

X(s)K

G(s)

Y(s)

Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)2

H(s)的极点为

3 3 p1, 2 2 k 2 2

为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k<(3/2)2, k<2, 即当k<2,系统稳定。

例2:如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定， 求常量a的取值范围 2 解：设加法器输出信号X(z) z-1X(z) X(z)=F(z)+z-1aX(z)F(z ) ∑

X

(z)

z 1 a

∑ Y(z )

Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a) 为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内， 故|a|<1

三、连续因果系统稳定性判断准则——罗斯-霍尔维兹准则 对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根(称 为系统特征根)是否都在左半平面上，即可判定系统是否 稳定，不必知道极点的确切值。 所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。

1、必要条件—简单方法 一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开 平面的必要条件是：(1)所有系数都必须非0,即不缺 项；(2)系数的符号相同。 例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定 例2 A(s)=3s3+s2+2 , a1=0,不稳定 例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。

2、罗斯列表将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列 第1行 an an-2 an-4 … 第2行 an-1 an-3 an-5 … 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 … 它由第1,2行，按下列规则计算得到：c n 1 1 a n 1 an a n 1 a n 2 a n 3

c n 3

1

an

an 4 a n 5

a n 1 a n 1

…

第4行由2,3行同样方法得到。一直排到第n+1行。罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则 A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符 号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。

特例：对于二阶系统 A(s)=a2s2+a1s+a0,若a2>0,不难得 出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：a1>0,a0>0

例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列： 2 12 12 1 1 8 4

12 8 2 0

2 0

8.5

注意：在排罗斯阵列 时，可能遇到一些特 殊情况，如第一列的 某个元素为0或某一行 元素全为0,这时可断 言：该多项式不是霍 尔维兹多项式。

2 第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。

例2 已知某因果系统函数1 H (s) 3 s 3s 2 3s 1 k

为使系统稳定，k应满足什么条件？ 解 列罗斯阵列 1 3 3 1+k (8-k)/3

1+k所以， –1<k<8,系统稳定。

四、离散因果系统稳定性判断准则——朱里准则

7.2 系统的稳定性 为判断离散因果系统的稳定性，要判断 A(z)=0的所有 根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方 法，称为朱里准则。 朱里列表： 第 1行 an an-1 an-2 …… a2 a1 a0 第 2行 a0 a1 a 2 …… an-2 an-1 an 第3行 cn-1 cn-2 cn-3 …… c1 c0 第4行 c0 c1 c2 …… cn-2 cn-1 第5行 dn-2 dn-3 dn-4 …… d0 第 6行 d0 d1 d2 …… dn-2 …… 第2n-3行 r2 r1 r0

第3行按下列规则计算：an c n 1 a0 a0 an

7.2

c n 2

系统的稳定性 a a a an 1

a0

a n 1

c n 3

n

2

a0

a n 2

…

一直到第2n-3行，该行有3个元素。

朱里准则指出，A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分 必要的条件是: (1) A(1)>0 (2) (-1)nA

(-1)>0 (3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r2>|r0| 奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0|

例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解

7.2

系统的稳定性

A(1)=1>0

(-1)4A(-1)=5>0

排朱里列表

4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209 -210 56 4>1 , 15>4 , 209>56 所以系统稳定。

7.3 信号流图 用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用 有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用 它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由 Mason于1953年提出的，应用非常广泛。 信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与 框图本质是一样的，但简便多了。 一、信号流图1、定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图 形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。 2、信号流图中常用术语

7.3

信号流图