非线性系统的分析_相平面1

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§3-3 相平面法相平面法是基于时域的一种图解分析方法。 是状态空间法在二维情况下的应用。 一、相平面的基本概念 二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)

f ( x, x ) 0 来描述。 x 一般可用常微分方程 式中，设输入信号为零，x 表示系统中的某一个物 ) 是 x 和 x 理量， f ( x , x 的解析函数。 ) 控制系统的任一动态过程可由状态变量 ( x , x 来表示。

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为横轴和纵轴构成的坐标平 1.相平面:以x 和 x 面. 2.相点:相平面上任一点 ) ( x, x

3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。

x

M1

x M2

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4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性x(x0,x0)

x(x0,x0)

x

x

x

(x,,x)

x

漸進穩定系統

不穩定

持續振蕩

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二、相平面图绘制方法 1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化. f ( x, x ) 0 x 设二阶系统

(*)

则 若令 y x

f ( x, y) 0 y

dy f ( x , y) dt

dy dt dt f ( x , y ) dt dx dx

dy f ( x , y ) dx y

直接积分,便解出相轨迹方程并由此画出相轨迹。

f ( x) y x

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例：如无阻尼二阶系统 n 2 x 0 x

y则 令x

dy 2 x n dx y

,设初始条件为 ( x0 , y0 )x 2 x0

整理上式并积分1 2 1 2 2 2 ( y y 0 ) n ( x0 x 2 ) 2 2

y

y0

ydy n xdx2 2 2 2

n x 2 y 2 n x0 y0A x0 2 y02

x y 1 2 2 A ( n A)

2

2

其中

n2

上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界 稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。

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⒉图解法之一：等倾线法 它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。 二阶微分方程 f ( x, x ) 0 令 y x xdy f ( x, y ) dx y

若令

dy 常数a dx

f ( x , y) y a 0 等倾线方程

满足相轨迹上的切线斜率为a

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相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。 ⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场(分布)可 证明不同a不相交，则对确定初始点 ( x0 , y0 ) 沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 (近似) ⑵画图步骤：

i.求出等倾线方程 ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的

ai ai 1 ai 2

平均斜率依次作短直线便可画得。

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说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。2 例如 x 2 n x n x 0

令 0.5 , n 1

i.等斜线方程:

i.等斜线

分布图. 1 1 .2 1 .1 ii.相轨迹 A点 a1 1 过点 A, a1 2

n 2 1 y x x 2 n a 1 a

直线段交 a2 = -1.2线于B.

1

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三.相轨迹和相平面图的性质 1)相轨迹的斜率

若相轨迹上任意一点的斜率为 a ,则dx dx / dt x f ( x , x) a dx dx / dt x x

2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称 的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。

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) f ( x , x ) f (x , x ) f ( x , x ) f (x , x f ( x , x) f ( x , x )

对称(左右对 则相轨迹关于x 称)。 则相轨迹关于 x 对称(上下对 称) 。则相轨迹关于原点对称。

3)相平面图的奇点奇点：相平面上同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点称为奇点。 设二阶系统 x+ f ( x, x)=0 的平衡点在原点，即 f(0,0)=0,则原点也是奇点。又设 f ( x, x) 在原点附近展 成台劳级数

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f ( x, x)=ax bx g ( x, x)高阶无穷小量 g ( x, x) 可以省略，得到

x +ax bx 0则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面 上的位置。设特征根为 1 , 2 ,根据 1 , 2 在复平面 的位置，可以有以下几种情况：

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①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。

②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。

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③特征根为两个负 实根 对应的相轨迹以非震 荡方式趋聚于平衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。

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④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。

⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。

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⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。

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4)极限环 在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊 的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点 的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。

极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。

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①稳定的极限环 如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环

上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。 因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。

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②不稳定的极限环 如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。

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③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。

对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。

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5)由相轨迹求时间增量

当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在 x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x 的平均值 xav近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增 量 t 。 x t xav