贝叶斯统计(16)

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则称区间 [ L , U ] 为参数的可信水平为 1 贝叶斯可信区间,或

简称为 的1 可信区间.而满足

这里的可信水平和可信区间与经典统计中的置信水平与置信区间虽是同类

的概念,但两者还是有本质的差别,主要表现在下面二点:

1. 在条件方法下,对给定的样本x和可信水平 ,通过后验分布可求得

具体的可信区间,譬如, θ的可信水平为0.9的可信区间是[1.5,2.6] ,这时我们可以

写出 P(1.5<=θ<=2.6|x)=0.9.

2.在经典统计中寻求置信区间有时是困难的,因为它要设法构造一个枢轴量,

使它的分布不含未知参数,这是一项技术性很强的工作.相比之下可信区间只要利

用后验分布,不需要再去寻求另外的分布, 可信区间的寻求要简单得多.

四、最大后验密度（HPD）可信区间

定义2.4 ：设参数θ的后验密度为π(θ|x)，对给定的概率1-α(0<α<1)，

若在直线上存在这样一个子集C，满足下列二个条件： ①P(C|x)=1-α，②对任

给θ1∈C和 2 ，总有π(θ1|x)≥π(θ2|x)，则称C是θ的可信水平为(1- C

α)的最大后验密度可信集，简称(1-α)HPD可信集，如果C是一个区间，则C

又称为(1-α)HPD可信区间。

3、假设检验

一、假设检验

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经典统计中处理假设检验问题的基本步骤：

1.建立原假设H0与备择假设H1：

H0：θ∈Θ0，H1：θ∈Θ1

其中Θ0与Θ1是参数空间Θ中不相交的二个非空子集。

2.选择检验统计量T=T(x)，使其在原假设H0为真时概率分布是已知的。这是

在经典方法中最困难的一步。

3.对给定的显著性水平α(0<α<1)，确定拒绝域W，使犯第Ⅰ类错误（拒真错

误）的概率不超过α。

4.当样本观察值x落入拒绝域W时，就拒绝原假设H0，接受备择假设H1；

否则就保留原假设。

贝叶斯统计中处理假设检验问题的基本思想：

获得后验分布π(θ|x)后，先计算二个假设H0和H1的后验概率：

αi=P(Θi|x)，i=0,1

然后比较α0与α1的大小：

当后验概率比(或称后验机会比)α0/α1>1时接受H0；

当α0/α1<1时接受H1；

当α0/α1≈1时，不宜做判断，还需要进一步抽样或进一步收集先验信息。

二、贝叶斯因子

定义2.5 设两个假设Θ0与Θ1的先验概率分别为π0与π1，后验概率分

别为α0与α1，则称：

后验机会比 0/ 1 0 1 B (x) 先验机会比 0/ 1 1 0

为贝叶斯因子。

贝叶斯因子表示数据x支持原假设的程度。

三、简单假设Θ0={θ0}对简单假设Θ1={θ1}

1.贝叶斯因子的计算方法及其含义。在这种场合，两种简单假设的后验概率分别

为： 1p(x/ 1) 0p(x/ 0) 1 0 p(x/ ) p(x/ ) 0p(x/ 0) 1p(x/ 1)0011 0 0p(x/ 0)其中p(x/θ)为样本的分布，这时后验机会比为： 1 1p(x/ 1)

如果要拒绝原假设Θ0={θ0}， p(x/ 1) 0则必须有：α0/α1小于1，即： p(x/ 0)这正是著名的奈曼 1即要求两密度函数值之比大于临界值，—皮尔逊引理的基

本结果，从贝叶斯观点看，这个临界值就是两个先验概率比。

p(x/ 0) 由此得到这种情形下的贝叶斯因子是： B(x) 01 1 0p(x/ 1)

它不依赖于先验分布，仅依赖于样本的似然比，这时贝叶斯因子的大小表示

样本x支持Θ0的程度。

四、简单原假设对复杂的备择假设

检验的基本问题