人教版数学成才之路必修5

详解

基 础 巩 固

一、选择题

1

1．(2013·北京文，5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝3sin B＝( )

1A.5 53 [答案] B

ab35

[解析] 本题考查了正弦定理解三角形，由sinAsinB1＝sinB35

即sinB＝9，选B.

2．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB3b，则角A等于( )

πA.12 πC.4 [答案] D

ab3π

[解析] 由正弦定理得sinAsinBsinA＝2，∴A＝33．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是( ) A．a>bsinA C．a<bsinA

B．a＝bsinA D．a≥bsinA πB.6 πD.3 5B.9 D．1

详解

[答案] D

abbsinA

[解析] 由正弦定理，得sinA＝sinBa＝sinB 1

在△ABC中，0<sinB≤1，故sinB1，∴a≥bsinA.

4．(2012～2013学年度辽宁葫芦岛市第一高级中学高二期中测试)△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是( )

A．一解 C．无解 [答案] B

[解析] ∵b＝30，c＝15，C＝26°， ∴c>bsinC，又c<b，∴此三角形有两解．

5．(2012～2013学年度江西九江一中高二期中测试)已知△ABC3

的面积为2b＝2，c3，则sinA＝( )

3A.2 34 [答案] A

31

[解析] 2＝22×3×sinA， 3

∴sinA＝26．(2012～2013学年度河南渑池高中高二期中测试)已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )

1

B.2 D.3 B．两解 D．无法确定

详解

A．x>2 B．x<2 C．2<x2 D．2<x3 [答案] C

[解析] 由题设条件可知

x>2 ，∴2<x2.

<2 xsin45°

二、填空题

7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．

[答案] 23cm BC

[解析] ∵sinA＝2R，

∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝23(cm)．

8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝______.

[答案] 2

[解析] C＝180°－105°－45°＝30°.

详解

bc

sinB＝sinC 22sin45°c

sin30°c＝2. 三、解答题

9．根据下列条件，解三角形．

(1)△ABC中，已知b3，B＝60°，c＝1； (2)△ABC中，已知c6，A＝45°，a＝2.

[解析] (1)由正弦定理，得sinC＝c131bsinB＝322.

∴C＝30°或C＝150°.

∵A＋B＋C＝180°，故C＝150°不合题意，舍去． ∴A＝90°，a＝b＋c＝2.

(2)由正弦定理，得sinC＝c·sinA6sin45°3a＝2＝2. ∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，b＝csinB6sin75°sinCsin60°3＋1. 当C＝120°时，B＝15°，b＝csinB6sin15°sinCsin120°＝3－1. ∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°， C＝120°.

能 力 提 升

一、选择题

1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( A.22

B.24

)

详解

32 [答案] D

3＋1D.4

asinC

[解析] c＝sinA ＝2，B＝105°， sin105°＝sin(60°＋45°)

6＋2＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝4 3＋11

∴S△ABC＝2acsinB＝42．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )

1A．－2 C. －1 [答案] D

[解析] ∵acosA＝bsinB， ∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B， ∴sinAcosA＋cos2B＝1.

3．(2013·辽宁理，6)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为1

a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝2，且a>b，则∠B＝( )

πA.6 2πC.3 [答案] A

[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．

πB.3 5πD.6 1B.2 D. 1

详解

1

由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝2B，∵sinB≠0，11π

∴sin(A＋C)＝2sinB＝2a>b知A>B，∴B＝6.选A.

4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是( )

A．平行 C．垂直 [答案] C

sinAb

[解析] ∵k1a，k2＝sinBk1·k2＝－1， ∴两直线垂直． 二、填空题

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．

π[答案] 6π [解析] sinB＋cosB＝2sinB＋4 ＝2， π

∴sin(B＋4)＝1，∵0<B<π， ππ5π∴4B＋44π，∴B＝4， ba1又∵sinB＝sinAsinA＝2， π

∵a<b，∴A<B，故A＝6.

6．在△ABC中，若A＝B＝C，则△ABC一定是________

cos2cos2cos2

a

b

cB．重合

D．相交但不垂直

详解

三角形．

[答案] 等边

sinAsinBsinC

[解析] 由正弦定理得，ABC

cos2cos2cos2ABC∴sin2＝sin2sin2，

ABCπ

∵0<A，B，C<π，∴0<222<2 ABC

∴222A＝B＝C. 三、解答题

7．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．

[解析] ∵A、B、C是三角形的内角， ∴A＝π－(B＋C)， ∴sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC ＝2sinBcosC.

∴sinBcosC－cosBsinC＝0， ∴sin(B－C)＝0， 又∵0<B<π，0<C<π， ∴－π<B－C<π，∴B＝C. 又∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角， ∴△ABC是等腰直角三角形．

8．(2013·北京理，15)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A. (1)求cos A的值；

详解

(2)求c的值．

[解析] (1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A， 326

所以在△ABC中，由正弦定理，得sinAsin2A， 2sinAcosA66所以sinA3，故cosA＝36

(2)由(1)知cosA3， 3

所以sinA＝1－cosA＝3.

1

又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cosA－1＝32

22

所以sinB＝1－cosB＝3 在△ABC中，sinC＝sin(A＋B) 53

＝sinAcosB＋cosAsinB＝9asinC

所以c＝sinA5.

9．(2012～2013学年度河南禹州高二期中测试)在△ABC中，内2

角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cosA3，sinB＝5cosC.

(1)求tanC的值；

(2)若a＝2，求△ABC的面积．

25

[解析] (1)由cosA＝3sinA3.又5cosC＝sinB＝sin(A＋52

C)＝3cosC＋3C，∴tanC＝5.

306

(2)由tanC＝5，得sinC＝6，cosC＝6，

详解

30

∴sinB＝5cosC＝6.

302×6

asinC

由正弦定理，得c＝sinA3.

53

11305

∴△ABC的面积S＝2acsinB＝223×62.