2.1线性方程组

线性方程组

克莱坶(Cramer)法则 一、 克莱坶 法则 先看一个二元一次方程组 a11x1 + a12x2 = b1 消元 x 2 → a21x1 + a22x2 = b2

(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2 a12

当a11a22 a12a21 ≠ 0时：

x1

b1 b2 = a 11 a 21

a 12 a 22 a 12 a 22

同理： 同理： x 2

a 11 a 21 = a 11 a 21

b1 b2 a 12 a 22

a11 det 设： A = a21

a12 ≠0 a22

b1 det B1 = b2

a12 a22

a11 b1 det B2 = a21 b2

则有：xj =

det Bj det A

( j = 1,2)

线性方程组

推广到含有n个未知量的 元线性方程组的一般形式为 推广到含有 个未知量的n元线性方程组的一般形式为： 个未知量的 元线性方程组的一般形式为： a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn

系数行列式： 系数行列式：a 11 det A = a 21 L a n1 a 12 a 22 L an2 L L L L a1n a2n L a nn

定理(克莱姆法则) 线性方程组当其系数行列式 定理(克莱姆法则)

det A ≠ 0时 有且仅有唯一解 ，xj = det B j det A ( j = 1, 2, L , n )

其中det Bj ( j = 1,2,L, n) 是将系数行列式中第 列元素 是将系数行列式中第j列元素

a 1 j , a 2 j , L , a nj 对应地换为方程组的常数项 b1 , b2 , L , bn后得到的行列式。 后得到的行列式。

线性方程组

x1 x2 + x3 2 x4 = 2 2 x x3 + 4 x4 = 4 1 例1 . 解线性方程组 = 1 3 x1 + 2 x2 + x3 x1 + 2 x2 x3 + 2 x4 = 4

经计算得: 解:经计算得 经计算得1 A= 2 3 11 2

1 0 2 21

1 1 1 1 2

2 4 0 2

= 2 ≠ 0

B1 =

2 4 1 4

1 1 2 0 1 4 2 2 1 1 0 2

= 2

2 4 1 B2 = 3 1 1 1 4 1

4 = 4, B3 = 3 0 2 1

1 1 2 2 2 0 4 4 2 1 0 2 4 2x3 =

= 0, B4 =

1 1 1 2 2 0 1 4 3 2 1 1 1 2 1 4x4 = B4 A = 1 2

= 1

∴ x1 =

B1 A

=1

x2 =

B2 A

= 2

B3 A

=0

线性方程组

例 2 .求一个二次多项式 f ( x ),使 f (1 ) = 1, f ( 1 ) = 9 , f (2 ) = 3 .

解：设 f ( x ) = a x 2 + bx + c a + b + c = 1 a b +c =9 4a + 2b + c = 3

解出det A = 6, B1 = 6, B2 = 30, B3 = 18 det det det得：a =1 b = 5 c = 3. , ,即: f ( x ) = x 2 5 x + 3

线性方程组

齐次线性方程组: 齐次线性方程组 如果线性方程组的常数项均为零， 如果线性方程组的常数项均为零，即 a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n L L L L L an1 x1 + an 2 x 2 + L + ann x n = 0 称为齐次线性方程组 齐次线性方程组。 称为齐次线性方程组。

Q det Bj = 0

( j = 1,2,..., n) ,det B j det A = 0 ( j = 1, 2, ..., n )

∴ 当 det A ≠ 0时 ， j = x

当 det A = 0时 , 齐 次 方 程 组 有 非 零 解 .

定理 如果齐次线性方程组的系数行列式 det A ≠ 0 ,则它 则它 仅有零解。 仅有零解。 则方程组有非零解。 如果 det A = 0 ,则方程组有非零解。 则方程

组有非零解

线性方程组

例 讨论

为何值时, k 为何值时 齐次线性方程组

x1 + (k 2 + 1) x2 + 2 x3 = 0 x1 + (2k + 1) x2 + 2 x3 = 0 有非零解 (Page67). kx + kx + (2k + 1) x = 0 2 3 11 k 2 +1 2 解 :由 det A = 1 2k + 1 2 = k (2 k ) = 0 k k 2k + 1得 : k = 0或k = 2.

线性方程组

二、线性方程组的消元解法1. 消元法 2 x1 + 2 x 2 x 3 = 6 例.解线性方程组 x1 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x + 6 x + 14 x = 49 2 3 1解 : (1).将方程组化为阶梯形(消元过程)

x1 2 x2 + 4 x3 = 3 x1 2 x2 + 4 x3 = 3 x1 2 x2 + 4 x3 = 3 6 x2 9 x3 = 0 2 x1 + 2 x 2 x3 = 6 6 x2 9 x3 = 0 3 x + 6 x + 14 x = 49 12 x + 2 x = 40 20 x3 = 40 2 3 1 2 3

(2).回代，求解。 回代，求解。 回代= 5 x1 x1 2x2 = 5 x1 2 x 2 x2 =3 6 x 2 = 18 x3 = 2 x3 = 2 =1 x2 =3 x3 = 2

线性方程组

上面的求解过程 , 可以用方程组的增广矩

阵的初等行变换表示 2 6 12 4 9 2 3 0 40

:

(A

b)

2 = 1 3

2

1

2 4 6 14

6 1 3 → 2 3 49

2 2 6 2 6 0

3 1 1 6 → 0 0 14 49 4 3 1 0 → 0 0 2

1 → 0 0 1 → 0 0

2 6 0 2 1 0

3 1 9 0 → 0 20 40 0 40 0 1

4 9 1

2 6 0

0 0 1

5 18 2

5 1 0 0 1 3 → 0 1 0 3 0 0 1 2 2

x1 = 1 x2 = 3 x = 2 3

(1) 一个方程的两端乘以一个不等于零的数; 一个方程的两端乘以一个不等于零的数; (2) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方程上去； 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方程上去； (3) 交换两个方程在方程组中的位置; 交换两个方程在方程组中的位置; 线性方程组的初等行变换过程中方程组同解 线性方程组的初等行变换过程中方程组同解 行变换过程中方程组

线性方程组

例 5 求解线性方程组 x1 + 3 x 2 2 x3 = 4 3 x + 2 x 5 x = 11 1 2 3 x1 4 x 2 x3 = 3 2 x1 + x 2 + 3 x3 = 7

解 把方程组的增广矩阵化成行最简形矩阵 把方程组的增广矩阵化成行最简形矩阵.3 2 4 1 2 5 11 3 B= 1 4 1 3 2 1 3 7

行初等变换

1 0 0 0

0 1 0 0

11 7 1 7 0 0

25 7 1 7 0 0

11 25 x1 x3 = 7 7 即: x 1x =1 2 3 7 7

25 11 x1 = 7 + 7 x3 x =1+1x 2 7 7 3

线性方程组

25 11 + x3 x1 = 7 7 x =1+1x …… 此处隐藏：3613字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……