05第五章 数列【讲义】

高中学生竞赛选讲：数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=

n(a1 an)n(n 1)

na1 d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则

22

an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}

是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.

定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

n-1

an 1

q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。 an

a1(1 qn)

定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q 1时，Sn=；当q=1时，

1 q

Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b 0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则

aman=apaq。 定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的 >0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|< ，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作liman A.

n

定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递缩等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1

（由极限的定义可得）。 1 q

定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理

定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若α β，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n. 例2 已知数列{an}满足a1=【解】 因为a1=

1

,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an. 2

1

,又a1+a2=22·a2, 2

a a111，a3= 22 ,猜想an (n≥1). 3 23 4n(n 1)3 1

1

证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。

2 1

所以a2=

当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,， 所以

111

=k(k+2)ak+1,

2 13 2k (k 1)11111即1 =k(k+2)ak+1,

223kk 1k1所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=.

k 1(k 1)(k 2)

1

. 由数学归纳法可得猜想成立，所以an

n(n 1)

1

例3 设0<a<1，数列{an}满足an=1+a, an-1=a+，求证：对任意n∈N+,有an>1.

an

【证明】 证明更强的结论：1<an≤1+a. 1)当n=1时，1<a1=1+a，①式成立；

2)假设n=k时，①式成立，即1<an≤1+a，则当n=k+1时，有

1 a ak 1

111 a a21 a a a 1.

1 a1 a1 aak

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2．迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q 0，求证：存在常数c，使得

2n2

an 1 pan 1·an+qan cq 0.

2222【证明】an 1 pan 1·an+1+qan 1 an 2(pan+1+an+2)+qan 1=an+2·(-qan)+qan 1=

2222q(an 1 anan 2) q[an 1+an(pqn+1+qan)]=q(an 1 pan 1an qan).

222若a2 pa2a1 qa12=0，则对任意n, an 1 pan 1an+qan=0，取c=0即可.

222若a2 pa2a1 qa12 0，则{an 1 pan 1an+qan}是首项为a2 pa2a1 qa1，公式为q的等比

2

2

数列。

22n所以an1)·q. 1 pan 1an+qan=(a2 pa2a1 qa

2

2

取c (a2 pa1a2 qa1)·综上，结论成立。

22

1

即可. q

2

例5 已知a1=0, an+1=5an+24an 1，求证：an都是整数，n∈N+. 【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an. 又由an+1=5an+24an 1移项、平方得

22an 1 10anan 1 an 1 0. ①

2

当n≥2时，把①式中的n换成n-1得an 10anan 1 an 1 1 0，即

22

22an 1 10anan 1 an 1 0. ②

2因为an-1<an+1，所以①式和②式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+an-1=0的两个不等根。由韦达定理得

an+1+ an-1=10an(n≥2).

再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。 3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

1

(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.

4n 2100

112 2100 4n 4100 n1

【解】 因为an+a100-n=n+=， 100100 n100100100n100 n100

4 24 24 2 2(4 4)2

19919999

所以S99= (an a100 n) 100 101.

2n 1222

111

. 例7 求和：Sn +…+

1 2 32 3 4n(n 1)(n 2)

1k 2 k

【解】 一般地，

k(k 1)(k 2)2k(k 1)(k 2)

例6 已知an=

1 11

， 2 k(k 1)(k 1)(k 2)

n

1

所以Sn=

k 1k(k 1)(k 2)

1 111111

2 1 22 32 33 4n(n 1)(n 1)(n 2)

1 11

2 2(n 1)(n 2) 11 . 42(n 1)(n 2)

an

的前n项和，求证：Sn<2。 n 2

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。 因为Sn 所以

a112358

， ① 2 3 4 5 6 nn

2222222

a11235

。 ② Sn 2 3 4 5 nn 1

222222

an

2n 1，

an 2111 11

由①-②得Sn 2 2

222 2n 2 22

a111

所以Sn Sn 2 nn。 1

2242

an

>0, n 1

2

11111所以Sn Sn, 所以Sn ，

22442

又因为Sn-2<Sn且

所以Sn<2，得证。 4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an. 【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2. 故设an=(α+βn)·2n-1，其中

3

，

6 ( 2 ) 2

所以α=3，β=0， 所以an=3·2n-1.

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an. 【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1, 所以an=α·3n+β·(-1)n，其中 解得α=

3 3

，

6 9

33，β ， 441n 1n 1

所以an [3 ( 1)·3]。

4

5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan 2 an 1an 2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。 【解】 由anan 2 an 1an 2 2an 1得

ana

2n 1=1， an 1an 2

a ann 1 即 1 2 1 .

an 2 an 1

令bn=

ana1+1，则{bn}是首项为+1=2，公比为2的等比数列， an 1a0

ana

所以bn=+1=2n，所以n=（2n-1）2，

an 1an 1

nanan 1a2a1k2

所以an=·…··a0= (2 1).

a1a0an 1an 2k 1

注：

C

i 1

n

i

C1·C2·…·Cn.

2

xn 2

例12 已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xn

x2 2x2 2

【解】 考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x= 2.

2x2x

2xn 2

因为x1=2, xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。

2xn

2又xn+2≥22xn，所以xn+1≥2(n≥1)。又

2

xn 2(xn 2)2

Xn+1-2=, ① 2=

2xn2xn2xn 2(xn 2)2

Xn+1+2=, ② 2=

2xn2xn

xn 1 2 xn 2

由①÷②得 。 ③

xn 1 2 xn 2

x1 2

又

2

x1 2

>0，

xn 1 2 xn 2

由③可知对任意n∈N+，>0且lg 2lg ,

xn 2 xn 1 2 xn 2

xn 2 2 2 所以lg 是首项为lg ，公比为2的等比数列。

2 2 xn 2

xn 2

所以lg

2 2 xn 2 2 2

2n 1·lg ，所以

xn 22 22 2xn 2 xn 2

2n 1

，

解得xn

·

(2 2)(2 2)

2n 12n 1

(2 2) (2 2)

2n 12n 1

。

注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.

2xn1

，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________. 23xn 2

1

3. 数列{xn}满足x1=1，xn=xn 1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.

2

2. 数列{xn}满足x1=

4. 等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________. 5. 等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.

6. 数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________. 7. 数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________. 8. 若

x3xnx1x2

，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.

x1 1x2 3x3 5xn 2n 1

Sna2n

，则limn=_________.

n b3n 1Tnn

9. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007

n

n2 n 1

10. 若n!=n(n-1)…2·1, 则 ( 1)=_________.

n!n 1

11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+

log2a5·log2a6=36，求

1

的通项。 an

n

12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x 2

1．已知函数f(x)= 2x 1

x 1

1

x

2

7 1

N+)，则 x 1 ，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈

3 2

(x 1)

a2006=_____________.

2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=

1

(n 1)

.

(n 2)

1

, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则2

3. 若an=n2+ n, 且{an}是递增数列，则实数 的取值范围是__________. 4. 设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.

3n1

5. 已知limn 1，则a的取值范围是______________. nn 33 (a 1)

6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。 7．已知an

n 401n 402

(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.

8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，

第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.

9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.

10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数. 11．已知数列{an}中，an 0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111

（n≥2）①恒成立。 a1a2a2a3a3a4anan 1a1an 1

12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn 1

(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，（1）2

1 an 1

an

；（3）求数列limbn.

n an 1

求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n 1)2

(an+bn+c) 12

对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题 1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。

2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn 1 2

，则通项xn=__________.

2xn 1 7

25

3. 设数列{an}满足a1=3, an>0，且3an an 1，则通项an=__________.

4. 已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则

1

=__________. ai 0i

n

5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.

6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.

7. 数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an 2 an

=2，则

an 1 1

lim

n

a1 a2 an

n

2

________.

8. 数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.

an

9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1= 2

a h n

an为偶数an为奇数

。问：对于怎样的h，存在大于0

的整数n，使得an=1？

10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。 11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan 2

anan 2 1 1

1.

六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….

2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。 试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an 1 7an 6bn 3,

bn 1 8an 7bn 4,n 0,1,2, .

求证：an (n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1<xi (i=0,1,2,…),

22x0xnx12

（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使 1≥3.999均成

x1x2xn

立；

22x0xnx12

（2）寻求这样的一个数列使不等式 1<4对任一n均成立。

x1x2xn

5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最

多有多少项？

2

(1 2an 2)an1 1

6．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 22

32an 1 4an 2an 1 an 2

1

(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证： 2是整数的平方。

an

7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1

. m k

9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0<q<1，求证：n个实数b0,b1,…，bn和满足：（1）ak<bk(k=1,2,…,n)；

bk 11

<(k=1,2,…,n)； qbk

1 q

（3）b1+b2+…+bn<(a0+a1+…+an).

1 q

（2）q<