线性代数习题集(带答案)

研究生入学考试,做完考研,线代可以拿全分

第一部分 专项同步练习

第一章 行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n阶排列j1j2 jn的逆序数是k, 则排列jn j2j1的逆序数是( (A)k (B)n k (C)

n!n(n2

k (D) 1)2 k3. n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有( )项.

(A) 0 (B)n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!

0014．

0010

0100 ( ). 1000

(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2

00105.

0100

0001 ( ).

1000

(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2

2xx 11

6．在函数f(x) 1 x12

32 x3中x3项的系数是( ).

0001 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2

). 1

研究生入学考试,做完考研,线代可以拿全分

a11a12 a22a32

7. 若D a21

a31

1

a23 ，则D1 2a21

2a332a31

a132a11a13 a23

a33

a11 2a12

a21 2a22 ( ). a31 2a32

(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若

a11a12

a21a22

a，则

a12a11

ka22ka21

( ).

(A)ka (B) ka (C)k2a (D) k2a

9． 已知4阶行列式中第1行元依次是 4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为

2,5,1,x, 则x ( ).

(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2

87436 23 10. 若D ，则D中第一行元的代数余子式的和为( ).

111143 75(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)0

3040

1111

11. 若D ，则D中第四行元的余子式的和为( ).

0 10053 22(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)0

x1 x2 kx3 0

12. k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组 x1 kx2 x3 0有非零解.

kx x x 0

23 1

( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)0

二、填空题

2

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1. 2n阶排列24 (2n)13 (2n 1)的逆序数是2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

.

.

.

4．若一个n阶行列式中至少有n2 n 1个元素等于0, 则这个行列式的值等于

.

10

5. 行列式

00

00

1110

1000

1011

0200

01 10

00

.

6．行列式

0n

n 1

.

a11 a1(n 1)

a21 a2(n 1)

7．行列式

an1 a11

a12 a22

a32

a1n00

a11

a13 3a12 3a12a23 3a22a33 3a32

3a22 3a32

.

0a13

8．如果D a21

a31a23 M，则D1 a21a33a31

.

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

.

3

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1 11x 11 1x 1 1

10．行列式

1x 11 1x 1 11 1 1

11

11．n阶行列式

11则该行列式的值为

.

.

1

1

1

.

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，

15

13．设行列式D

482637372648

，A4j(j 1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，15

.

则4A41 3A42 2A43 A44

ac

14．已知D

babbaccaab

， D中第四列元的代数余子式的和为ccbd1234

.

15．设行列式D

3344

6，A4j为a4j(j 1,2,3,4)的代数余子式，则

15671122，A43 A44

.

A41 A42

4

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320

503

2n 0

016．已知行列式D ，D中第一行元的代数余子式的和为

00

n

.

kx1 2x217．齐次线性方程组

x3 0 2x1 kx 0仅有零解的充要条件是.

2

x1

x2 x3 0

18．若齐次线性方程组

x1 2x2 x3 0

2x2 5x3 0有非零解，则k=.

3x1 2x2 kx3 0

三、计算题

a

bcd

2

a2

1.bc2d

2

xyx ya3

b3

c3

d

3

; 2．yx yx；b c da c da b da b c

x y

x

y

x

a1a2 an 201x1

a1

x

a2 an 23．解方程101x

a1a2x an 2x110

0； 4．

1x10

a1a2a3

x

a1

a2

a3 an 1

；

5

11

1

11

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a015. 1

1a111 1

1

1(aj 1,j 0,1, ,n)；

1 a2

1

1

1

an

111 131 b1

16. 1

12 b

1

111 (n 1) b

111 1

b1

a1

a1 a1

7. b1

b2a2 a2； b1

b2b3 an

x2

1x1x2

x1xn9.

x2x11 x2

2 x2xn

; xnx1

xnx2

1 x2

n

a

a

0 1

1 aa011．D 0

11 aa

00 11 a0

1

6

x

a1a2 an

a1xa2

an

8．a1a2x an; a1a2a3

x2

10 001

21 00 10.

012 00

000 210

1

2

00.

a a

1

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四、证明题

1a21b2 a2

ab1a1111．设abcd 1，证明：

b2

b 0. c2 1c2

c1c1d2 11d

2

d

d1

a1 b1x

a1x b1

c1a1b1c12．a2 b2xa2x b2

c2 (1 x2)a2

b2c2. a3 b3xa3x b3c3

a3

b3

c3

11113．abcd

a2

b2c2d2 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)(a b c d). a4b4c4d4

11 1a1

a2

an

4．

a21a22 a2n

n

ai

(a

j

ai).

i 1

1 i j n

an 21an 2n 22 anan

1an2

ann

1

11

5．设a,b,c两两不等，证明a

bc 0的充要条件是a b c 0. a3b3

c3

7

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参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A B C D B B 二．填空题

1.n; 2.“ ”; 3.a14a22a31a43; 4.0; 5.0; 6.( 1)n 1n!; 7.( 1)

n(n 1)

2

a1na2(n 1) an1; 8. 3M; 9. 160; 10.x4; 11.( n) n 1; 12. 2;

n

1

13.0; 14.0; 15.12, 9; 16.n!(1 ); 17.k 2,3; 18.k 7

k 1k三．计算题

1． (a b c d)(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)； 2. 2(x3 y3)； 3. x 2,0,1; 4.

n

n

(x a

k 1

n 1

k

)

5.

(ak 1)(1

k 0

n

1

); 6. (2 b)(1 b) ((n 2) b);

k 0ak 1

n

n

7. ( 1)

(b

k 1

n

k

ak); 8. (x ak) (x ak);

k 1

k 1

9. 1 xk; 10. n 1;

k 1

n

11. (1 a)(1 a2 a4). 四. 证明题 (略)

8

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第二章 矩阵

一、单项选择题

1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)

A2 A

2

(b)

A2 B2 (A B)(A B)

(c)

(A B)A A2 AB

(d)(AB)T ATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。

(a) AB =BA (b) A 0 (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA ( )。 (a) kA (b)

kA (c) knA (d) kA

n

4.设A为n阶方阵，且A 0，则( )。

(a) A中两行(列)对应元素成比例 (b) A中任意一行为其它行的线性组合

(c) A中至少有一行元素全为零 (d) A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) (A B) 1 A 1 B 1 (b) (AB)T AB

(c) (A 1 B)T A 1 B (d) (A B) 1 A 1 B 1 6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) A* A 1 (b) A* A (c) A* A

n 1

(d) A* A

n 1

7. 设A为3阶方阵,行列式A 1,A*为A的伴随矩阵,则行列式

(2A) 1 2A* ( )。

(a)

278278 (b) (c) (d) 827827

9

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8. 设A，B为n阶方矩阵,A2 B2,则下列各式成立的是( )。

(a) A B (b) A B (c) A B (d) A B 9. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( )。

(a) A B A B (b) AB BA (c) AB (d) A B 2

2

2

2

10.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a）2A 2AT (b) (2A) 1 2A 1

(c) [(A 1) 1]T [(AT)T] 1 (d) [(AT)T] 1 [(A 1)T]T

a11

a12a13 a11 3aa12 3a32

a13 3a33

11.如果A

aaa 21

22a

31

23 a22a

23 ，则A （ a31

a32

a33 21

a31

a32

a33

100 10 3 00 3 1 （a） 010 (b) 010 (c) 010 (d) 001 301 001 101 0 3 131

12.已知A 220

，则（ ）。

311

（a）AT A (b) A 1 A*

100 113 100 113 （c）A 001 202 （d） 001 A 202

010 311 010 311

13.设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABC I，则（ ）。

（a）ACB I （b）CAB I （c）CBA I （d）BAC I 14.设A为n阶方阵，且|A| 0，则（ ）。 （a）A经列初等变换可变为单位阵I

（b）由AX BA，可得X B

10

）。

0

0 1

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（c）当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时，有A 1 B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设A为m n阶矩阵，秩(A) r m n，则（ ）。

（a）A中r阶子式不全为零 （b）A中阶数小于r的子式全为零

Ir（c）A经行初等变换可化为 0

0 （d）A为满秩矩阵 0

16.设A为m n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B AC，则( )。 (a)秩(A)> 秩(B) (b) 秩(A)= 秩(B)

(c) 秩(A)< 秩(B) (d) 秩(A)与秩(B)的关系依C而定 17.A，B为n阶非零矩阵，且AB 0，则秩(A)和秩(B)( )。

(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n，一个等于n

18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是( )。

(a)r(A) r n (b) A的列秩为n

(c) A的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 19.n阶矩阵A可逆的充要条件是( )。 (a) A的每个行向量都是非零向量 (b) A中任意两个行向量都不成比例

(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n维非零向量X，均有AX 0

二、填空题

1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2 I,则行列式A _______

a

b

2.行列式 a0c _______

b c0

11

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101

3.设2A 020 ，则行列式(A 3I) 1(A2 9I)的值为_______

001

4.设A

1232

2 ，且已知A6 I，则行列式A11 _______ 1 2

5.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且A 3，则A* _______ 6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______

a1b1 a2b1

7.非零矩阵

ab n1

a1b2a2b2 anb2

a1bn

a2bn

的秩为________

anbn

8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX 0，则A的秩为_______

9.若A (aij)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是_______

4IA 10.若方阵与相似，则_______ A

2K 1

K

K 12 _______ 11.lim

K 11

3K K

1

212.lim 0

n 0

12

1

1 _______ 3

1 0

4

n

三、计算题

1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).

12

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223 22 010 13

20

1) 1 10 X 32 ； 2) 100 X 2 1

121 0 2 001 11 10 ； 3) X(I B 1C)TBT I,其中B 310 404 ； C 101

212

422 121

； 101 4) AX A2 X I,其中A 020

101 ； 425) AX A 2X,其中A 3 110

123

；

2.设A为n阶对称阵,且A2 0,求A.

1 103.已知A 021

,求(A 2I)(A2 4I) 1.

10 1

4.设A 12 A2

01 A 34 00 12

A11 ,2 , 23 A3 , 00 A4 ,求 01

A3

A 4

.

5.设A 112 224

,求一秩为2的方阵B,使AB 0.

336

211 011 6.设A 101 ,B 121

,求非奇异矩阵C,使A CTBC.

110 110

7.求非奇异矩阵P,使P 1AP为对角阵.

13

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1 2 1

21

1) A 2) A 1 31

12 20 1

8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

(0,0,1)T,( 1,1,0)T,( 2,1,1)T,求矩阵A.

5 32

9.设A 6 44 ,求A100.

4 45

四、证明题

1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆. 2. 设Ak 0(k为整数), 求证I A可逆.

3.设a1.a2, ,ak为实数,且如果ak 0,如果方阵A满足

Ak a1Ak 1 ak 1A akI 0,求证A是非奇异阵.

4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA. 5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵. 6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

14

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第二章参考答案

一：1. a；2. b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.

二．1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. ai4 ai8；

i 115

02

10. I；12. 0；11. 00 .

100

三、1.1）、 13 2

160

1

22）、 ； 2 1

2

130

1 4 3 201

1 5 3030；3）、；4）、 ；

16 102 4

0 1 21

31 3 8 6 0

01 21 5）、 2 9 6 . 2. 0；3. 1 3 1 ； 001 2 212 9 0 ；10 4. 0001

3 1 1 010 11 3 11

11 不唯一；6. 100 ；7. 5. 11）、 11 . 2)、 211 ；

1 001 122 00

3100 （20 22100 1）2 2100 31003100 1 3

10010010010010022 3） 44 2 （23）（23 1）8. 100 ；9. （ . 100100100 1 11 （23 1）（21 3）（23） 1

15

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第三章 向量

一、单项选择题

1. 1, 2, 3， 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式

1 2 3 1 m, 1 2 3 2 n,则行列式

1 2 3 1 2 (

)

(a)m n (b)m n (c) m n (d) m n2. 设A为n阶方阵，且A 0,则（ ）。

(a)A中两行（列）对应元素成比例 (b)A中任意一行为其它行的线性组合 (c)A中至少有一行元素全为零 (d)A中必有一行为其它行的线性组合

3. 设A为n阶方阵，r(A) r n，则在A的n个行向量中（ (a)必有r个行向量线性无关

(b)任意r个行向量线性无关

(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组

(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示 4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ ）

(a)r(A) r n

(b)A的列秩为n

16

。

）