河南省洛阳市2014届高三下学期第二次统一考试_数学理

河南省洛阳市2013―2014学年高三年级统一考试数学试卷（理）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的. 1.已知a bi

25

(a、b都是实数，i为虚数单位)，则a b 3 4i

2

A. 1 B. -1 C. 7 D. -7 2. 设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ），若P(ξ＞c)=a, 则P(ξ＞4-c)等于

A. a B. 2a C. 1-a D. 1-2a

3. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是

A. 1 B.

2

2

1214

4. 过点A(23,2)作圆(x 1)2 (y 2)2 625的弦，

其中弦长为整数的条数为

A.36 B. 37 C. 72 D. 74

5.设函数f(x) (x 2)，其中n 6

n

20

cosxdx，则f(x)的展开式中x4的系数为

A.-360 B. 360 C. -60 D. 60 6.函数y xsinx在[- , ]上的图象

A. B. C. D.

7.右面的程序框图中，循环体执行的次数是 A. 100 B. 99 C. 50 D. 49

x≥－1

8. 若变量x,y满足约束条件 y≥x,则z 2x y的最大值为

3x＋2y≤10.

9

A.-3 B.

2C.6 D.10

9.已知函数f(n) ncos(n ),an f(n) f(n 1)，则a1 a2 a3 a100 A. 0 B. -100 C. 100 D. 10200

2

1

10. 若a,b,c均为单位向量，a·b=-c xa yb(x,y R),则x y的最大值是

2

→→→

→

→

A. 2 B. 2 D. 1

11.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°， ABC是正三角形，则棱锥P-ABC的体积为 3333273 B.

4 424

12.已知任何一个三次函数f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)都有对称中心M(x0,f(x0)),记函数f(x)

的导函数为f (x),f (x)的导函数为f (x)，则有f (x)=0.若函数f(x) x3 3x2，则 f(

1234017

) f() f() f() 2014201420142014

A. 4027 B. -4027 C.8054 D. -8054

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

x2y22

14.已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)与抛物线y 8x的公共焦点为F，其中一个交点为P,若|PF|=5，

ab

则双曲线的离心率为____________.

15. 已知函数f(x) 1 x2,函数g(x) 2ax 3a 2(a 0) ，若对任意x1 [0,1] ，存在x2 [,1] ，使得f(x1) g(x2) 成立，则实数a的值是16.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=|x1 x2|+|y1 y2|为两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“折线距

离”，在这个定义下给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于2的点的轨迹是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆； ③到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”之和为4的轨迹是面积为6的六边形； ④到M（-1,0），N（1,0）两点的“折线距离”差的绝对值为3的点的轨迹是两条平行直线. 其中正确的命题是_____________.（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题过6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知m=(2cosx+23sinx,1),n=(cosx,-y),且满足m·n=0. （Ⅰ）将y表示为x的函数f(x),并写出f(x)的对称轴及对称中心；

（Ⅱ）已知a,b,c分别为 ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f(x) f()对所有x R恒成立，且a 4, 求b+c的取值范围.

1

2

→→→→

A2

18.（本小题满分12分）

在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABBA1为矩形，AB=1，AA1=2 ,D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABBA1.

（Ⅰ）求直线BC与直线AB1所成的角；

（Ⅱ）若3OA, 求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3， ，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都成等差数列的为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，6，8为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．

（1）求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

（2）若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数 的方差是多少？

20.（本小题满分12分）

x2y2

已知椭圆E:2 2 1(a b 0)的左右焦点分别是F1，F2 ,过F1垂直于x轴的直线与E相交于A，B

ab

两点，且|AB|=32 ,离心率为

2

. 2

(1)求椭圆E的方程；

(2)过焦点F2作与坐标轴不垂直的直线l交椭圆E于C，D两点，点M是点C关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N使得D，M，N三点共线？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x) [ax2 (a 1)2x a2 3a 1]ex(a R).

(Ⅰ)若函数f(x)在(2,3)上单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若a 0，设g(x)

f(x)

lnx x，斜率为k的直线与曲线y g(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2) xe

(其中x1 x2)两点，证明：(x1 x2)k 2.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，圆O1与圆O2相交于A，B 两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点． 求证：

（1）PA PD=PE PC； （2）AD=AE．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1

的极坐标方程为

x 1 cos , （ 为参数，0≤ ≤ ）. sin( ) ，曲线C2的参数方程为

4y 1 sin .

（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设f(x) x a,a R.

（Ⅰ）当 1 x 3时，f(x)≤3，求a的取值范围；

（Ⅱ）若对任意的x R ，f(x a) f(x a) 1 2a恒成立，求实数a的最小值.