2019年高考全国1卷理科数学试题及答案

. .. ,2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ) 第I 卷（选择题) 一、单选题

1．已知集合{}

}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A ．}{43x x -<< B ．}{42x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则

A ．22+11()x y +=

B ．22(1)1x y -+=

C ．22(1)1x y +-=

D ．22(+1)1y x +=

3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51

2

-（512

-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是

A ．165 cm

B ．175 cm

C ．185 cm

D ．190cm 5．函数f (x )=2sin cos x x x x

++在[—π，π]的图像大致为 A ．

B ．

. .. C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“

——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A ．516

B ．1132

C ．2132

D ．1116

7．已知非零向量a ，b 满足

a =2

b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6

8．如图是求1

1

2122++的程序框图，图中空白框中应填入

A ．A =12A +

B ．A =12A +

C ．A =112A +

D ．A =112A + 9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则

A ．25n a n =-

B ． 310n a n =-

C ．228n S n n =-

D ．2122

n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若

.

.. 222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为

A ．2

212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154

x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2

π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A ．①②④

B ．②④

C ．①④

D ．①③

12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为

A

．

B

． C

． D

第II 卷（非选择题)

13．曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．

14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

14613a a a ==，，则S 5=____________． 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 16．已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u r

，则

C 的离心率为____________．

17．V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；

（2

2b c +=，求sin C ．

. .. 18．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．

（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；

（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．

19．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为

32

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =u u u r u u u r ，求|AB |．

20．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：

（1）()f x '在区间(1,)2π

-存在唯一极大值点；

（2）()f x 有且仅有2个零点．

21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，

.

.. 11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，

(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列；

(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

2

21141t x t t

y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩

，（t 为参数），以坐标原点O 为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

2cos sin 110ρθθ++=．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）求C 上的点到l 距离的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：

（1）222111a b c a b c

++≤++； （2）

333()()()24a b b c c a +++≥++ 参考答案

1．C

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】 由题意得，{}{}

42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

.

.. 2．C

【解析】

【分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．

【详解】

,(1),z x yi z i x y i =+-=+

-1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．

【点睛】

本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．

3．B

【解析】

【分析】

运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c

【详解】

22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．

【点睛】

本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

4．B

【解析】

【分析】

理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．

【详解】

设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm

，则262611052

x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其

.

.. 身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．

【点睛】

本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．

5．D

【解析】

【分析】

先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】 由22

sin()()sin ()()cos()()cos x x x x f x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f π

ππππ+

+==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】

本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

6．A

【解析】

【分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．

【详解】

由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有3

6C ，

所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516

，故选A ． 【点睛】

对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还

.

.. 是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．

7．B

【解析】

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】

因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以

cos θ=22||12||2

a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．

8．A

【解析】

【分析】

本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．

【详解】

执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122

+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算1

12122

++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A

=+，故选A ． 【点睛】

.

.. 秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A

=

+． 9．A

【解析】

【分析】 等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，

44(72)1002

S -+=

=-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】 由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩

，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．

10．B

【解析】

【分析】 由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在

1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △

中，由余弦定理得n =. 【详解】 法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得

22214991cos 2233

n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=

，解得n =

.

..

222

2423,3,312

,

a n a

b a c

∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为

22

1

32

x y

+=，故选B．

法二：由已知可设

2

F B n

=，则

21

2,3

AF n BF AB n

===，由椭圆的定义有1212

24,22

a BF BF n AF a AF n

=+=∴=-=．在

12

AF F

△和

12

BF F

△中，由余弦定理得

22

21

22

21

44222cos4,

422cos9

n n AF F n

n n BF F n

⎧+-⋅⋅⋅∠=

⎨

+-⋅⋅⋅∠=

⎩

，又2121

,

AF F BF F

∠∠互补，

2121

cos cos0

AF F BF F

∴∠+∠=，两式消去

2121

cos cos

AF F BF F

∠∠

,，得22

3611

n n

+=，解得

3

n=．222

2423,3,312,

a n a

b a c

∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为

22

1

32

x y

+=，故选B．

【点睛】

本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

11．C

【解析】

【分析】

化简函数()sin sin

f x x x

=+，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】

()()()()

sin sin sin sin,

f x x x x x f x f x

-=-+-=+=∴

Q为偶函数，故①正确．当2

x

π

π

<<时，()2sin

f x x

=，它在区间,

2

π

⎛⎫

π

⎪

⎝⎭

单调递减，故②错误．当0xπ

≤≤时，

.

.. ()

2sin

f x x

=，它有两个零点：0,π；当0

x

π-≤<时，

()()

sin sin2sin

f x x x x

=--=-，它有一个零点：π-，故()

f x在[],

-ππ有3个零点：0

-π,,π，故③错误．当[]()

2,2

x k k k*

∈ππ+π∈N时，()2sin

f x x

=；当

[]()

2,22

x k k k*

∈π+ππ+π∈N时，()sin sin0

f x x x

=-=，又()

f x为偶函数，

()

f x

∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．

【点睛】

画出函数()sin sin

f x x x

=+的图象，由图象可得①④正确，故选C．

12．D

【解析】

【分析】

先证得PB⊥平面PAC，再求得2

PA PB PC

===从而得P ABC

-为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

【详解】

解法一:,

PA PB PC ABC

==∆

Q为边长为2的等边三角形，P ABC

∴-为正三棱锥，PB AC

∴⊥，又E，F分别为PA、AB中点，

//

EF PB

∴，EF AC

∴⊥，又EF CE

⊥，,

CE AC C EF

=∴⊥

I平面PAC，PB⊥平面PAC，2

PAB PA PB PC

∴∠=90︒,∴===，P ABC

∴-为正方体一部分，22226

R=++=3

64466

6

33

R V R

=∴=π==π

π，故选D．

. .. 解法二:

设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点， //EF PB ∴，且12

EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2

CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()

2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ， D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x

+-+∴=， 221

22122x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，344666338

V R ∴=π=π⨯=π，故选D .

.

.. 【点睛】

本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．

13．30x y -=.

【解析】

【分析】

本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】

详解：/223(21)3()3(31),x x x

y x e x x e x x e =+++=++

所以，/0|3x k y === 所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．

【点睛】

准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

14．1213

. 【解析】

【分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】

设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33

q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133

a q S q --===--． 【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

. .. 15．0.216.

【解析】

【分析】

本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．

【详解】

前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=

【点睛】

由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 16．2.

【解析】

【分析】

通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线

可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603b a

==可求离心率.

【详解】

如图，

由1,

F A AB =u u u r u u u r 得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =u u u r u u u u r g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有

.

.. 1AOB AOF ∠=∠，

又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB

的斜率为

0tan 60b a ==所以该双曲

线的离心率为2c e a =

===． 【点睛】 本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．

17．（1）3A π=

；（2

）sin C =【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2

sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.

【详解】

（1）()2

222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-

即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=

由正弦定理可得：222b c a bc +-= 2221cos 22

b c a A bc +-∴== ()0,πA ∈Q 3A π

\=

（2

）2b c +=Q

sin 2sin A B C +=

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π

=

.

..

1

cos sin2sin

222

C C C

++=

整理可得：3sin C C

-=

22

sin cos1

C C

+=

Q

(()

2

2

3sin31sin

C C

∴=-

解得：sin C=

因为sin2sin2sin0

2

B C A C

==->

所以sin

4

C>

，故sin C=

（2

）法二：2

b c

+=

Q

sin2sin

A B C

+=

又()

sin sin sin cos cos sin

B A

C A C A C

=+=+，

3

A

π

=

1

sin2sin

2

C C C

++=

整理可得：3sin C C

-=

，即3sin

6

C C C

π

⎛⎫

=-=

⎪

⎝⎭

sin

62

C

π

⎛⎫

∴-=

⎪

⎝⎭

由

2

(0,),(,)

3662

C C

ππππ

∈-∈-，所以,

6446

C C

ππππ

-==+

sin sin()

46

C

ππ

=+=.

【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

18．（1）见解析；（2

.

【解析】

【分析】