高等数学课后习题答案第三章

高等数学课后习题答案第三章

习题三

1 (1) 解：所给函数在定义域( , )内连续、可导，且

y 6x2 12x 18 6(x 1)(x 3)

可得函数的两个驻点：x1 1,x2 3,在( , 1),( 1,3),(3, )内，y 分别取+，–，+

号，故知函数在( , 1],[3, )内单调增加，在[ 1,3]内单调减少. (2)解: 函数有一个间断点x 0在定义域外，在定义域内处处可导，且单调增加，而在(0,2]内单调减少.

y

y 2

8x

2

，则函

数有驻点x 2，在部分区间(0,2]内，y 0；在[2, )内y >0，故知函数在[2, )内

0

(3) 解: 函数定义域为( ,

)，,故函数在( , )上单调增加.

x 1,x

12,

(4) 解: 函数定义域为( , ),y 2(x 1)(2x 1)，则函数有驻点: 在

( ,

1

2内， y 0，函数单调减少；在2

n 1

2

][

1

, )

n

x

内， y 0，函数单调增加.

e

x

(5)解: 函数定义域为[0, )，y nx

e

x

xex

n 1

(n x)

函数的驻点为x 0,x n,在[0,n]上y 0，函数单调增加；在[n, ]上y 0，函数单调减少.

(6)解: 函数定义域为( , ),

π

x sin2x, x [nπ,nπ ], n Z, 2y

x sin2x, x [nπ π,nπ], n Z. 2

1) 当

x [nπ,nπ

π

]

2时， y 1 2cos2x，则 12

x [nπ,nπ

π3； ]

y 0 cos2x

y 0 cos2x

x [nπ

π2

π2

x [nπ

π3

,nπ

π

2.

]

2) 当

,nπ]121

时， y 1 2cos2x，则

π2π,nπ

π6 ]

y 0 cos2x x [nπ

y 0 cos2x

2

x [nπ

6

,nπ]

.

高等数学课后习题答案第三章

kπkππ, ] (k z)

3综上所述，函数单调增加区间为22，

[

函数单调减少区间为2

4

4

[

kπ

πkππ

, ] (k z)322.

(7)解: 函数定义域为( , ).

y 5(x 2)(2x 1) 4(x 2)(2x 1) 2 (2x 1)(18x 11)(x 2)

3

4

5

3

,

函数驻点为在在

( ,

1

x1

12

,x2

1118

,x3 2

]

2内， y 0,函数单调增加，

[

111,]

218上， y 0,函数单调减少，

在18

[

11

,2]

上， y 0,函数单调增加，

1

11111,][, )218，18.

在[2, )内， y 0,函数单调增加. 故函数的单调区间为:

( ,

2，]

[

2. (1) 证明: 令f(x) sinx tanx 2x,则当

0 x

π

f (x)

(1 cosx)(cosx cosx 1)

cosx

2

2

,

2时， f (x) 0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x) f(0) 0,

2

即sin2x tanx 2x. (2) 证明: 令

f(x)=e

x

sinx 1

x

x

2,则f (x)= e cosx x,

x x

f (x)=e sinx 1 e (sinx 1) 0,则f (x)为严格单调减少的函数,故

f (x) f (0) 0,即f(x)为严格单调减少的函数,从而f(x)

f(0 )

,即

2

3.证明:设f(x) sinx x，则f(x) cosx 1 0,f(x)为严格单调减少的函数，因此

f(x)至多只有一个实根.而f(0) 0，即x 0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根

e

x

sinx 1

x

2

.

x 0，也就是sinx x只有一个实根.

4. (1)解: y 2x 2,令y 0，得驻点x 1.

又因y 2 0，故x 1为极小值点，且极小值为y(1) 2.

2

y 6x 6x,令y 0，得驻点x1 0,x2 1, (2)解:

y 12x 6,y

x 0

0,y

x 1

0

,

故极大值为y(0) 0，极小值为y(1) 1. (3)解: y 6x 12x 18 6(x 3)(x 1),

2

高等数学课后习题答案第三章

令y 0，得驻点x1 1,x2 3.

y 12x 12,y

x 1

0,y

x 3

0

,

故极大值为y( 1) 17，极小值为y(3) 47. (4)解:

y

y 1

11 x

x 0

0

，令y 0，得驻点x 0. ,故y(0) 0为极大值.

2

1(1 x)

2

,y

3

0

(5)解: y 4x 4x 4x(1 x)， 令y 0，得驻点x1 1,x2 0,x3 1.

y 12x 4, y

2

x 1

0,y

x 0

0,

3

故y( 1) 1为极大值，y(0) 0为极小值.

y 1

,令y 0，得驻点3

4时， y 0;当

x

3

4时， y 0,故

(6)解

:

x2 1，当

35y() 44.

x1

4且在定义域( ,1]内有一不可导点

,

x

x1

3

4为极大值点，且极大值为

因为函数定义域为x 1，故x 1不是极值点.

y

12

5时， y 0；当y 3

x 1x x 1,

2

(7)解

: 当

x

,令y 0，得驻点

x

12

x

125.

y(125)

5，y 0,

故极大值为

.

y

x(x 2)(x x 1),

2

2

(8)解:

令y 0，得驻点x1 2,x2 0.

y

y

( 2x 2)(x x 1) 2(2x 1)(x 2x)

(x x 1)

0,y

x 0

22

23

x 2

0

,

y( 2)

83.

故极大值为y(0) 4，极小值为(9)解: y e(cosx sinx), 令y 0，得驻点

y 2esinx，

x2k 2kπ

π4

x

x

xk kπ

y

π4

π4

(k 0, 1, 2, )

π4

.

x 2kπ

0,y

x (2k 1)π

0

，

y(x2k)

2e

2kπ

π4

故为极大值点，其对应的极大值为;

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x2k 1 (2k 1)π

1

π4

为极小值点，对应的极小值为

1

y(x2k 1)

2

(2k 1)π

π4

.

(10)解:

y x(

x

1x

lnx) xx

1 lnxx

2

,

令y 0，得驻点x e.

当x e时， y 0，当x e时， y 0,

1

e

故极大值为y(e) e.

(11)解: y 2e e

y 2e e

x

x

x x

,令y 0，得驻点

0

2

x

ln22

.

,y

x

ln2

,

故极小值为(12)解

:

y(

ln22

) .

y

21

. y的定义域为( , )，且y在x=1处不可导，当x>1

时y 0，当x<1时， y 0，故有极大值为y(1) 2.

y

212

(13)解

:

.无驻点.y在x 1处不可导，但y 恒小于0，故y无极值.

(14)解: y 1 secx 0, y为严格单调增加函数，无极值点.

2

5.证明：y 3ax 2bx c，令y 0，得方程3ax 2bx c 0，

2

由于 (2b) 4(3a)c 4(b 3ac) 0，那么y 0无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.

6.解：f(x)为可导函数，故在

f (

π3

22

x

π

3处取得极值，必有

0

x

π3

) (acosx cos3x)

，得a=2.

0

π3

f (

π3π

) ( 2sinx 3sin3x)

x

又

所以

x

，

π3)

3

3是极大值点，极大值为

f(

2

7.（1）解：y的定义域为( ,0)，

y

2(x 27)

x

0

，得唯一驻点x=－3

且当x ( , 3]时，y 0，y单调递减；当x [ 3,0)时，y 0，y单调递增, 因此x=－3为y的最小值点，最小值为f(－3)=27. 又x

limf(x)

，故f(x)无最大值.

0

y 1

(2)

解：

，在( 5,1)上得唯一驻点

x

34，

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3 5

y , y(1 )又

4 4

1 , y ( 5

65

,

故函数f(x)在[－5，1]上的最大值为4

5.

(3).解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2，

而 y(－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 8. 解：y 2ax b 0得

y(0)

x

2

bb

2a不可能属于以0和a为端点的闭区间上,

而

b 2b0 ,y

a, a

2

b 2by

a故当a>0时，函数的最大值为 a

，最小值为y(0) 0;

2

b 2b

y

a当a<0时，函数的最大值为y(0) 0，最小值为 a

y

x

1000,

.

9.

解：令

y

(x 1000)

令y 0得x=1000.因为在(0，1000)上y 0，在(1000, )上y 0,

ymax y(1000)

2000.

所以x=1000为函数y

的极大值点，也是最大值点，

a1000

2000. 故数列 n 1000

的最大项为

1

1 x1 1

f(x)

1 x1 1

1 x1 10. 证明：

f (x)

1

1x a1x a1x a

,,,

x 00 x ax a

当x<0时，当0<x<a时，

1 x

2

1

1

1 x a

2

2

0

;

2

f (x)

1 x

x

1

1 x a ;

a

此时令f (x) 0，得驻点

f (x)

1

4 a

f

2，且 2 2 a，

1

当x>a时，

1 x

2

1 x a

2

0

,

高等数学课后习题答案第三章

又x

limf(x) 0

，且

f(0) f(a)

2 a1 a.

而f(x)的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得 故

f(x)max

4

2 a1 a

,

2 a

,0

2 a1 a.

11.解：设圆柱体的高为h,

V π

π32 h πrh h4

2

令V 0,

得

h

3

.

即圆柱体的高为

12. 解：由题设知

3

时，其体积为最大.

1

2

x

xy π a

2 2 12

a xπ

a18y xπ

xx8得

截面的周长

l(x) x 2y l (x) 1

π4 12x

2

π x x ,

2ax

14

xπ

12

xπ x

2ax

π4

x,

2a

令l (x)

0得唯一驻点

x

x

，即为最小值点.

. 即当

13. 解：所需电线为

L(x) L (x)

(0

x 3)

在0<x<3得唯一驻点x=1.2(km)，即变压器设在输电干线离A处1.2km时，所需电线最短. 14. 解：设小正方形边长为x时方盒的容积最大.

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V (a 2x) x 4x 4ax ax

22

V 12x 8ax a

2322

x

a6.

令V 0得驻点

x

a

a

2(不合题意，舍去)，

即小正方形边长为6时方盒容积最大.

15.(1) 解：y 4 2x,y 2 0，故知曲线在( , )内的图形是凸的.

(2) 解：y coshx,y sinhx.

由sinhx的图形知，当x (0, )时，y 0，当x ( ,0)时，y 0， 故y=sinhx的曲线图形在( ,0]内是凸的，在[0, )内是凹的.

(3)解：

y 1

1x

2

,y

2x

3

0

，故曲线图形在(0, )是凹的.

y

2(1 x)

2

2

(4) 解：

y arctanx

x1 x

2

0

，

故曲线图形在( , )内是凹的. 16.(1)；解：y 3x 10x 3

y 6x 10，令y 0可得

2

x

53.

5

)

3内是凸弧；

当当

x

5

3时，y 0，故曲线在5

( ,5

x

3时，y 0，故曲线在3

[, )

内是凹弧.

520 ,

因此 327 是曲线的唯一拐点.

(2) 解：y (1 x)e, y e令y 0，得x=2

x x

(x 2)

当x>2时，y 0，即曲线在[2, )内是凹的； 当x<2时，y 0，即曲线在( ,2]内是凸的.

－

因此(2，2e2)为唯一的拐点.

(3)；解：y 4(x 1) e, y e 12(x 1) 0 故函数的图形在( , )内是凹的，没有拐点.

y

2x1 x

2

3

x

x

2

, y

2(1 x)(1 x)

2

2

2

(4) 解：

令y 0得x=－1或x=1.

当－1<x<1时，y 0，即曲线在[－1，1]内是凹的.

当x>1或x<－1时，y 0，即在( , 1],[1, )内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).

高等数学课后习题答案第三章

y

11 x

2

e

arctanx

, y

1 2x(1 x)

2

2

e

arctanx

(5)；解：令y 0得当当

x

1

x

12.

[1, )

2时，y 0，即曲线在2

内是凸的；

x

1

2时，y 0，即曲线在

( ,

1

]

2内是凹的，

故有唯一拐点2.

(6)解：函数y的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.

y 4x(12lnx 4), y 144xlnx. 令y 0，在(0，+∞)，得x=1.

3

2

(

1

,e

arctan

12

)

当x>1时，y 0，即曲线在[1, )内是凹的; 当0<x<1时，y 0，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7). 17.(1);证明：令 f(x) x

n 1n 2

f (x) nx, f (x) n(n 1)x 0，

n

则曲线y=f(x)是凹的，因此 x,y R，

f(x) f(y) x y

f

2 2 ,

1 x y nn

(x y)

2即 2 .

n

(2);证明：令f(x)=ex

xx

f (x) e, f (x) e 0.

则曲线y=f(x)是凹的， x,y R, x y

f(x) f(y) x y

f

2则 2

x y

2即

(3)证明：令 f(x)=xlnx (x>0)

e

2

e e

xy

.

1x

f (x) lnx 1, f (x) 0 (x 0)

则曲线y f(x)是凹的， x,y R，x≠y，有

f(x) f(y) x y

f

2 2

x yx y1

ln (xlnx ylny)

22即 2，

高等数学课后习题答案第三章

即

dy

xlnx ylny (x y)ln

x y2

.

18. (1)解：dx

dy

22

3 3t2t

2

,

dydx

2

2

3(t 1)4t

3

2

令dx，得t=1或t=－1 则x=1，y=4或x=1，y=－4

dy

2

0

当t>1或t<－1时，dx

2

0dy

22

，曲线是凹的，

0

当0<t<1或－1<t<0时，dx，曲线是凸的， 故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).

dy

(2) 解：dx

dydxdy

22

2a 2sin cos 2a ( csc )

2

2

2

2sin cos

3

4

2

2

( 6sin cos 2sin )

π3或

π3，

12a( csc )

2

1a

sin cos(3 tan )

422

令dx

0

，得

不妨设a>0

当tan

tan

π3

πdy

2

2

3时，dx

0

，

tan π

π

π3或

πdy

2

2

3时，dx

0

,

3 3

,a ,a 3232 .

3或3时，都是y

的拐点，且拐点为故当参数及

y

x 2x 1(x 1)

2

2

2

19.证明：

y

，

(x 1)

令y

0，得x 1,x 2

x 2

当x ( , 1)时，y 0；

当x ( 1,2 当x (2 当x (2

时y 0；

2

时y 0；

)时y 0,

因此，曲线有三个拐点(－1，－1)

，

(2 1

4

(2 1

4

.

高等数学课后习题答案第三章

12

因为

因此三个拐点在一条直线上.

20. 解：y′=3ax2+2bx, y″=6ax+2b 依题意有

2 =0

a b 3

6a 2b 0

22. 解得

21. 解：令f(x)= ax3+bx2+cx+d

联立f(－2)=44，f ′(－2)=0，f(1)=－10，f ″(1)=0 可解得a=1，b=－3，c=－24，d=16.

a

3,b

9

22. 解：y 4kx(x 3), y 12k(x 1) 令y 0，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k， 只要k≠0，可验证(1，4k)，(－1，4k)是曲线的拐点. ，那么拐点处的法线斜率等于

由于(1，4k)，(－1，4k)在此法线上，因此

x 1

22

y 8k

1

8k，法线方程为

y

18k

x

.

4k

1

8k, 得32k

2

1, 32k1

2

1(舍去) k

故

8.

23. 答：因f (x0) f (x0) 0，且f (x0) 0，则x=x0不是极值点.又在U(x0, )中，

f (x) f (x0) (x x0)f ( ) (x x0)f ( )，故f (x)在x0左侧与f (x0)异号，在x0

右侧与f (x0)同号，故f(x)在x=x0左、右两侧凹凸性不同，即(x0,f(x0))是拐点. 24. (1)；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,

y

1 x 2x(1 x)

22

2

2

2

1 x

22

(1 x)

2

y

2x(x 3)(1 x)

2

3

令y 0，可得x 1，

令y 0，得x=0

，

高等数学课后习题答案第三章

当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线.

f(1) f( 1) 2，极小值2，有3

个拐点，分别为 函数有极大值

1

1

,

4 (0，0)，

4 ，作图如上所示.

(2) 解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,

y 1 y

21 x4x(1 x)

2

22

令y′=0，可得x=±1， 令y″=0，可得x=0.

又

lim

f(x)x

2x

lim(1

x

arctanx) 1

x

y(1) 1

π2，极

且

lim[f(x) x] lim( 2arctanx) π

x

x

故y x π是斜渐近线，由对称性知y x π亦是渐近线.函数有极小值大值

y( 1)

π2 1

.(0，0)为拐点.作图如上所示.

2x(1 x) x

(1 x)2(1 x)

3

2

2

(3)；解：函数的定义域为x R,x 1.

y

x(x 2)(1 x)

2

(x 1)

y

令y 0得x=0，x=－2

当x ( , 2]时，y 0,f(x)单调增加； 当x [ 2, 1)时，y 0,f(x)单调减少； 当x ( 1,0]时，y 0,f(x)单调减少； 当x [0, )

时，y 0,f(x)单调增加, 故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0 又

limf(x) lim

x 1

x 1

x

2

1 x

，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.

2

又因x x

故曲线另有一斜渐近线y=x－1.

lim

f(x)

x

lim(f(x) x) lim x 1 1

x x

1 x ， 且，

高等数学课后习题答案第三章

综上所述，曲线图形为：

(4)解：函数定义域为(－∞，+∞) .

(x 1)

y 2(x 1)e

2

y e

(x 1)

2

2(2x 4x 1)

2

令y 0，得x=1. 令y

0，得

x 1

2.

当x ( ,1]时，y 0,函数单调增加； 当x [1, )时，y 0,函数单调减少；

当当

x ( ,1

2

2

[1

2

2

)

时，y 0，曲线是凹的；

x [1 时，y 0，曲线是凸的,

A(1

2,e

12

故函数有极大值f(1)=1

，两个拐点：又x

图形如下：

limf(x) 0

),B(1

2

e

12

)

，

，故曲线有水平渐近线y=0.

g (x)

Ace(1 e

cx

cx cx

0

25. (1) 解：

g (x)

Ace

2

)

2

2

，g(x)在(－∞，+∞)内单调增加，

cx

Ace 2(1 e)

4

cx

) e

cx

(1 e

cx

Ace

2 cx

(1 e

cx

2cx

)

(1 e)

4

当x>0时，g (x) 0,g(x)在(0，+∞)内是凸的. 当x<0时，g (x) 0,g(x)在(－∞，0)内是凹的. 当x=0时，

g(x)

A2.

高等数学课后习题答案第三章

x 且x .故曲线有两条渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量(在特定

环境中)最大值，即承载容量.如图：

limg(x) 0,limg(x) A

(2)解：

g( x) g(x)

A1 e

cx

A1 e

cx

A

.

(3)证明：∵取Be

cT

y

A1 BelnBc

c(x T)

A1 Be

cx

e

cT

1，得

T

T

lnBc

即曲线

y

A1 Be

cx

是对g(x)的图像沿水平方向作了

πr, A πr,

3

2

个单位的平移.

26.解：

dVdtdAdt

V

43

drdt

v.

dVdr

drdt

4πr v

2

dAdr

8πr vdrdt

a

dr

27.解： dt

drd

d dt

2

e a a e

a

.

x 2acos

28. 解： y 2acos sin asin2

dxdtdydt

2

dxd dyd

2

d dtd dt

2a 2cos ( sin ) 2a sin2 ,

2acos2 2a cos .

29. 解：方程16x 9y 400两边同时对t求导，得

32x

dxdt

dydt. 得

2

dxdt

18y

dydt

0

169x

由

18y 32x, y

163.

代入椭圆方程得：x 9，

16 3,

即所求点为 3

x 3, y

16

, 3,

3 .

30. 解：当水深为h时，横截面为

高等数学课后习题答案第三章

s

2

12

2

h

2

V sh 12 dhdt

2

体积为

dVdt

2h

dV

3

当h=0.5m时，dt故有

3m min

dh

1

.

3 2 0.5

dt，

dh

4 (m3·min1). 得

dt

31.解：设t小时后，人与船相距s公里，则

－

s dsdt

ds

t

120

80t

且

dt

8.16

(km·h

－1

)

dy

32. 解： dt

dy

dydx

2x 3 6x.dxdt

－

当x=2时，dt

6 2 12

(cm·s1).

33. 证明：如图，设在t时刻，人影的长度为y m.

5

y3

y 56t 则 4

化简得

即人影的长度的增长率为常值.

34.解：y=－(x－2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)

, y 2当x=2时， y 0 ，

7y 280t, y 40t,

dydt

40

(m·min1).

－

k

y (1 y )

2

3/2

2.

故

35.解：y sinhx, y coshx.

当x=0时，y 0, y 1，

k

y (1 y )

2

3/2

1.

故

36.解：y cosx,

y sinx.

高等数学课后习题答案第三章

当

x

π

2时，y 0, y 1，

k

y (1 y )

2

3/2

1.

故

37. 解：y tanx, y secx

k

y (1 y )1k

2

3/2

2

secx(1 tanx)

2

3/2

2

cosx

故

R

secx

.

2

dydy

3asintcost

tant2

dxdx 3acostsint

dt

38.解：

dydx

22

，

d( tant)

dt

1dxdt

1

4

ddx

( tant)

sect 3acostsint

2

2

13asintcost

4

，

2

k

3asintcost[1 ( tant)]

2

3/2

故

k

3asin2t

23asint02

且当t=t0时， .

2

3/2

39.解：y cosx, y sinx.

R

(1 cosx)

sinx

, k

2

1R

sinx(1 cosx)

2

3/2

k

2cosx(1 sinx)(1 cosx)

2

5/2

显然R最小就是k最大， 令k 0，得

x

π

2为唯一驻点.

π π

0, ,π

在 2 内，k 0，在 2 内，k 0.

所以

x

π

2为k的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为

R

(1 cosx)

sinx

23/2

1

x

π2

.

y lnx

40. 解：由 y 0解得交点为(1，0).

高等数学课后习题答案第三章

y

x 1

1x

x 1

1,1x

2x 1

y

x 1

1.

2

y (1 y )

3 x

y x 1

2

1 y

y 2 y (1,0)

故曲率中心

曲率半径为R . 故曲率圆方程为：

(x 3) (y 2) 8.

2

2

41.解：

y

x 0

0, y

x 0

15000，

R

(1 y )

y

23/2

5000

飞行员在飞机俯冲时受到的向心力

F

mvR

2

2

70 2005000

560

(牛顿)

故座椅对飞行员的反力

F 560 70 9.8 1246 (牛顿).

42. 解：(1) 边际成本为： (2) 利润函数为

C (q) (300 1.1q) 1.1.

L(q) R(q) C(q) 3.9q 0.003q 300L (q) 3.9 0.006q

2

令L (q) 0,得q 650 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R(q)=C(q) 即 3.9q－0.003q2－300=0

q2－1300q+100000=0 解得q=1218(舍去)，q=82.

43. 解：(1) 利润函数为

L(q) 7q 0.01q 0.6q 13q 0.01q 0.6q 6qL (q) 0.03q 1.2q 6

0 令L (q) 0，得 3q 12q

2

3232

2

60 0 0

即 q 40q 200 0

得q 20 (舍去)

q 20 1 34. 此时， L(34) 0.01 34 0.6 34 6 34 96.56(元)

(2)设价格提高x元，此时利润函数为

L(x) (7 x)(34 2x) C(34) 2x 20x 379.44

2

3

2

2