2015年秋人教版九年级数学上同步授课课件21.2.1降次——解一元二次方程

课前预习

3 1.方程x2=3的解是_______,方程(x+3)2=3的解是 3 3和 3 3 x2-6x+9=3的解是_______________.4和-2 2.已知(x-1)2 =9,则方程的解为_______.

3 3和 3 3

, 方程

3.已知方程x2-4x+2=0,配方正确的是( C ) A.(x-2)2 =0 B.(x-2)2 =4 C.(x-2)2 =2 D.(x-2)2 = -22

x -6x=6 ,方程两边都 4.为了利用配方法解方程x2 -6x-6=0,我们可移项得________ x2 -6x+9 =15 ,化为__________. (x-3)2=15 9 加上_______ ,得___________2

(x+2) =3 ,解为______________. 3 2和 3 2 5.用配方法解方程2x2+8x+2=0,先配方为_________

课堂精讲

知识点1 用直接平方法解一元二次方程通过开平方运算，降次解一元二次方程的方法叫直接开平方法.如：x2 = p或(mx+n)2 =p (p≥0)形式的一元二次方程，可得x= ± 或mx+n = ± . 注意：⑴化为ax2=c(a≠0)的一元二次方程有解的条件是c=0或a、c同号，否则无解； ⑵化为(ax+b)2=c(a≠0)的一元二次方程有解的条件是c=0或c是正数，否则无解. 【例1】解方程(3x-1)2 =6. 解析：方程左边可用完全平方式，右边是非负数，两边直接开平方. 解：两边直接开方，得3x-1=± , ∴3x-1= 或3x-1= - . ∴x1= ,x2= . 点拨：形如x2 = p或(mx+n)2 =p(p≥0)的一元二次方程选用直接开平方法解是比较快捷的 手段. 变式拓展 1.解下列方程： ⑴x2 =25;⑵(x+2)2 =9 解：⑴x2 =25两边开平方得x=±5,即x1=5,x2=-5 ⑵(x+2)2 =9两边开平方得x+2=±3,即x+2=3,x+2=-3 原方程的解为x1=1,x2=-5

知识点2 配方法⑴配方法的定义 用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需形 式.配方是为了降次，利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来 解. ⑵用配方法解一元二次方程的一般步骤(“一移二化三配四开”): ①一移，将常数项移到右边，含未知数的项移到左边. ②二化，将二次项系数化为1,即左右两边同时除以二次项系数. ③三配，配成完全平方式，左右两边同时加上一次项系数一半的平方. ④四开，开平方求根，即利用平方根的定义直接开平方.

【例2】用配方法解方程： ⑴x2+x-1=0;⑵3x2-1=-4x. 解析：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时，最好将方程的二次项系数 化为1. 解：⑴移项，得x2+x=1, 配方，得x2+x+ ∴x+ 2 =±1

1 4

5 2

1 1 5 =1+ 4 ,即(x+ )2= . 2 45 1 ,x2= 5 1 2 24 1 3

,∴x1=

.

⑵移项，得3x2+4x=1, 方程两边都除以3,得x2+ 3 x=2

, )2=7 9

2 4 1 2 2 2 2 配方，得x + 3 x+ 3 = 3 + ,即(x+ 3 3 2 2 7 7 2 7 ∴x+ 3 =± 3 ,∴x1= 3 ,x2= 3 .

.

变式拓展 2. 完成下列配方过程： (1)x2+12x+ 36 =(x+6)2; (2)x2﹣12x+ 36 =(x﹣ 63

)2;

(3)x2﹣2

x

+

9 16

=(x﹣

4 )2;=(x﹣ )2.

3

(4)x2﹣2 2 x+ 2

3.(2015 岳池县模拟)用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0.解：∵2x ﹣4x﹣3=0,2

3 2 5 ( x 1) 2 2 10 x 1 2 10 10 x1 1 , x2 1 . 2 2 x2 2 x

随堂检测 ⒈(x-2)2=4的解为 0和4 . ⒉已知(x-2)2=a的一个解为3,则a= 1 ,方程的另一个解为 1 . ⒊用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方程可变形为( B ) A. (x﹣2)2=9 B. (x +2)2=9 C. (x + 2)2=1 D. (x﹣2)2=1 ⒋用配方法解一元二次方程x2=4x+5的过程中，配成的完全平方式是 (x-2)2=9 ⒌解方程： (1)(2x﹣3)2﹣9=0; (2)x2+4x﹣1=0. 解：⑴移项得：(2x-3)2=9, 两边开方得：2x-3=±3, 解得x1=3,x2=0; ⑵ x2+4x-1=0, x2+4x=1, x2+4x+4=1+4,

.

(x+2)2=5,x+2=± 5 , x1= 5 -2,x2=5

-2.