数学思想与数学文化——第一讲 数学是什么

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《数学思想与数学文化》

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1 . 本课程的目的：

1)揭示数学的真实面目；(是什么) 2)挖掘数学学与做的机制；(为什么) 3)探讨生产生活和科技领域的广泛应用 和在人文素养方面所产生的重要影响。 (做什么)

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2 . 考试形式：

1)平时成绩占30%(包括5次测试10分，出勤20分，出勤不足1/3则以缺考论);

2)期中成绩占20%(期中小论文);3)期末成绩占50%(闭卷笔试或论文报告); 4)加分部分占10%(课堂演讲)。

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《数学思想与数学文化》第一讲---

数学是什么

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内容

一.前言二.数学是什么1. 数学是一种语言，是一切科学的共同语言

2. 数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙 3. 数学是一种工具，一种思维的工具 4. 数学是一门艺术，一门创造性艺术

三.数学的诸多定义 附：中国现象

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一. 前言

人们对“数学是什么”的问题经历了一个漫长 而艰苦的认识过程。 数学与人类文明共存，有人类文明，就必须有 数学。显然，对数学的认识随人类文明的进步 而不断深化。

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前言

恩格斯曾说：“数学是现实世界中的空间形式与数 量关系”。这说明数学的研究对象是“形”与 “数”。 近二三十年来，由于科学技术，特别是信息技术的 迅猛发展，产生了“混沌(Chaos)”、“分形几 何(Fractal Geometry)”等新的数学分支，而这 些内容已经超出一般意义下“形”与“数”的范畴。

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二. 数学是什么 1. 数学是一种语言，是一切科学的共同语言享有“近代科学之父”尊称的大物理学家伽利略(Galileo) 说过：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的 大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也认识不清。”由于在量子电动力学方面做出突出贡 献于1965年获得了Nobel奖的物理学家理查德· 费格曼 (Richard Fegnman)曾说过：“若是没有数学语言，宇宙 似乎是不可描述的。” 例子 1)牛顿(Issac Newton):微积分学---万有引力定律。 2)爱因斯坦(Albert Einstein): Riemann几何---广义相对论。 3) 伽罗瓦(Galois):群论---统一能量守恒定律、动量守恒 定律、电荷守恒定律等。

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2.数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙在17世纪工业革命时代，弗· 培根(F .Bacon)曾提出“知 识就是力量”的响亮口号，同时还说“数学是打开科学大 门的钥匙”。 例子： 1)马克斯威尔(Maxwell)方程--电磁波理论---现代的通讯 技术； 2)纳维-斯托克司(Navier-stokes)方程---流体力学的理论 基础---航空学； 3)数理逻辑和量子力学---现代的电子计算机； 4)Newton万有引力定律(含行

星运动三大定律)---天文学、 物理学和其他自然科学； 5)微积分学---力学和现代的科学技术。

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物理学家伦琴发现X射线而成为1901年开始的Nobel物理 学奖的第一位获奖者，当有人问他需要什么时，他的回 答是：“第一是数学，第二是数学，第三是数学。”对计算机做出了划时代贡献的冯· 诺伊曼(Von Neumann) 认为：“数学处于人类智能的中心领域...,数学方 法渗透支配着一切自然科学的理论分支，它已愈来愈成 为衡量成就的主要标志。” 马克思也说：“一门科学只有当它达到能够成功地运用 数学时，才算真正发展了。”

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3.数学是一种工具，一种思维的工具从哲学的观点来看，任何事物都是量和质的统一体，都 有自身量的方面的规律，不掌握量的规律，就不可能对 各种事物的质获得明确的、清晰的认识，而数学正是一 门研究量的科学，它不断地在总结和积累量的规律性， 因而必然成为人们认识世界的有力工具。 例子 1) 晶体结构(1985年Nobel化学奖) 2)人体器官的三维图像(CT扫描，核磁共振成像， 1979年Nobel 生理学和医学奖) 3) 数据压缩技术(Yale大学的研究成果，通讯技术的 重大突破) 4) 一般均衡理论(1972年Nobel 经济学奖)

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4.数学是一门艺术，一门创造性艺术

美国近代数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)说：“数学是 创造性艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创 造性艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样的思索； 数学是创造性艺术，因为数学家这样对待它。” 1979年美国出版一本轰动世界获得普利策大奖的书《GEB--一条永恒的金带》(这本书指出有一条永恒的金带把数理逻辑、绘画、音乐等不同领域间的共同规律连在一起, 构成了人工智能和生命遗传机制的基础 )。

数学家和文学家、艺术家在思维方法上是共同的，都需要 抽象，也都需要想象和幻想。“美”是艺术家所追求的一 种境界。其实，“美”也是数学中公认的一种评价标准。 当数学家创造了一种简化的证明，找到一种新的应用时， 就会在内心深处获得一种美的享受，数学中的“美”是体 现在简洁性、对称性、和谐性、奇异性上的。

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著名数学家庞加莱曾说：“科学家研究自然是因为他爱自然， 他之所以爱自然，是因为自然是美好的。如果自然不美，就 不值得理解，如果自然不值得理解，生活就毫无意义。当然 这里所说的美，不是那种激发感官的美，也不是质地美和表 现美......我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻美， 是人的纯洁心智所能掌握的美。” 数学能陶冶人的美感，增

进理性的审美能力。一个人数学造 诣越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际上就是理性 的洞察力，也是由美感所驱动的选择力，这种能力有助于使 数学成为人们探索宇宙奥秘和揭示规律的重要力量。正如德 国数学家皮索特和萨马斯基在合著的《普通数学》中所说： “数学是艺术又是科学，它也是一种智力游戏，然而它又是 描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量。”

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三.数学的诸多定义1)哲学说 2)符号说 3)科学说 4)工具说 5)逻辑说 6)创新说 7)直觉说 8)集合说 9)结构说(关系说) 10)模型说 11)活动说 12)精神说 13)审美说 14)艺术说15)万物皆数说

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15个“定义” 来自： ---方延明 《数学文化导论》 南京大学出版社 1999

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哲学说

亚里士多德：“新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。” 来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。 《几何原本》:点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度。牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他是把这本书 “作为哲学的数学原理的著作”,“在哲学范围内尽量把数 学问题呈现出来”。