河南省郑州市2014届高中高三年级第一次质量预测文科数学试题 扫描版含答案

2014年高中毕业年级第一次质量预测

数学（文科） 参考答案

一、选择题

DDABA CACCB CB

二、填空题

13.[1,3)-； 14.3； 15. 8π； 16.987.

三、解答题

17.解（1）由题意3π

-=x 时取得最小值-4，

4)32sin(4,4-=+⨯-=∴ϕπ

A ，1)3

2sin(-=+-∴ϕπ， 又因为πϕ<<0，,6πϕ=∴所以()4sin(2).6f x x π

=+ ………………… 4分 （2）因为)0(2f a =，)6

(4π

f a =，所以2,424==a a ， 设等差数列公差为d ，则1,11==a d ，(1).2n n n S +∴= ………………………8分 )1113121211(2)1(232221211121+-++-+-=+++⨯+⨯=+++=

n n n n S S S T n n 122(1).11

n n n =-=++ ………………………………12分 18.解：(1)从45候车乘客中随机抽取15人，每人被抽到的概率为

31， 则45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为27人.……………………4分

(2)记第四组的3人为A B C 、、,第五组的2个人为a b 、,则从这5人中随机抽取2人的不同结果(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b 共10种，两人恰好来自两组的情况有共6种，………………………10分

则抽到的2人恰好来自不同组的概率5

3106==p .………………………………12分 19.解：(1)

证明：由题意1BD AB =

== 且OB B AOD 1~∆∆, ,2111===∴BB AD OB DO OB AO ,33,6631===∴AO BD OD 1A A 1

B B 1

C C O

D

222AD OD AO =+∴,所以BD AB ⊥1,……………………3分

又⊥CO 侧面11A ABB ，1AB CO ∴⊥,

又BD 与CO 交于点O ，所以CBD AB 面⊥1,

又因为CBD BC 面⊂,所以1AB BC ⊥. ………………………………………6分

（2）因为OA OC =,3

3=且11//AC 平面.ABC 186332121313111111=⨯⨯⨯⨯=⋅=

==∴∆---OC S V V V ABA ABA C ABB A ABC C . …………12分 20.⑴解：由题知||||||||||||2||||4||.CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=> 所以曲线M 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x 轴的交点），

设曲线M ：22

221(0,0)x y a b y a b

+=>>≠， 则2222||4,()32

AB a b a ==-=， 所以曲线M ：22

1(0)43

x y y +=≠为所求.---------------4分 ⑵解：注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点(1,0)B ，

设1122:1,(,),(,)BC l x my C x y D x y =+，

由221,3412,

x my x y =+⎧⎨+=⎩ 消x 得22

(34)690m y my ++-=

，所以1,2y =， 所以1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩

-------------------------------------8分 因为1122(2,),(2,)AC my y AD my y =+=+,所以

212121212222

222(2)(2)(1)2()4

9(1)12794.343434

AC AD my my y y m y y m y y m m m m m m ⋅=+++=+++++-=--+=+++ 注意到点A 在以CD 为直径的圆上,所以0AC AD ⋅=,

即m =,-----11分 所以直线BC

的方程330x +-=

或330x -=为所求.------12分

21.⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, (1)()ln (0)k x h x x x x

-=-

>, 当k e =时, 221()e x e h x x x x -'=-=,-------------------2分 若0x e <<,则()0h x '<;若x e >,则()0h x '>.

所以()h x 是(0,)e 上的减函数,是(,)e +∞上的增函数,

故min ()()2h x h e e ==-,

故函数()h x 的减区间为(0,)e ,增区间为(,)e +∞,极小值为2e -,无极大值.---5分

⑵解:由⑴知221()k x k h x x x x

-'=-=, 当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数,

注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------7分 当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >,()0h x '>.

所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数,

故只需min ()()ln 10h x h k k k ==-+≥. --------9分 令()ln 1(0)u x x x x =-+>, 11()1x u x x x

-'=-=, 当01x <<时,()0u x '>; 当1x >时,()0u x '<.

所以()u x 是(0,1)上的增函数,是(1,)+∞上的减函数.

故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立.

所以当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求. --------12分

22.解：⑴ D C B A ,,,四点共圆，

∴EBF EDC ∠=∠，又AEB ∠为公共角，

∴ECD ∆∽,EAB ∆ ∴

.DC EC ED AB EA EB == ∴2111...428DC EC ED EC ED AB EA EB EB EA ⎛⎫==== ⎪⎝⎭

.

∴DC AB =. ……………………………………………………………… 6分 ⑵ FB FA EF ⋅=2

， ∴FE

FB FA EF =， 又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆，

∴EBF FEA ∠=∠，

又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠， ∴//.EF CD .…………………………………………………… 10分 23.解：⑴22

22

12:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．

曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．

……4分

⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l

的参数方程为4,,x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）

将其代入曲线1C

整理可得：240s -+=，设,A B 对应参数分别为12,s s ，

则1212 4.s s s s +==

所以12||||AB s s =-==. ……………………………10分

24.解：⑴因为,4)()4(4-=---≥-+-a a x x a x x

因为4a <,所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立,故

43,1a a -=∴=为所求.……………………4分

⑵不等式x x f -≥3)(即不等式x a x x -≥-+-34 )4(<a ，

①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥-

即 1.x a ≤+

所以，当a x <时，原不等式成立.

②当4≤≤x a 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥-

即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时，原不等式成立.

③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即7,3a x +≥

由于4<a 时74.3a +>

所以，当4>x 时，原不等式成立. 综合①②③可知： 不等式x x f -≥3)(的解集为R.……………………10分