22量子力学基础习题思考题

习题

22-1．计算下列客体具有10MeV动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。解：(1)电子高速运动，设电子的总能量可写为：E=EK+m0c2

24E2=c2p2+

m0c可得

=

=

p=用相对论公式，

λ=

h=

8 34

=

=1.2×10 13m

（2

）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：

hλ==

34 15

==9.1×10m22-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。25.0kV，解：（1）用非相对论公式：

hλ==

p

hh

==2mE2meU

6.63×10 34

2×9.1×10 31×1.6×10 19×25×103

=7.8×10 12m

（2）用相对论公式：

4

E2=p2c2+m2c0

E m0c2=Ek=eUλ=

h

=p

hh

==7.7×10 12m

2

2mE2m0c2eU+（eU）

22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距d

=7.32×10 2nm，中子的动能

Ek=4.20eV，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.

解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：

λ=h=p

= 34

=1.4×10 11m

再利用晶体衍射的公式，可得出：2dsin =kλk=0,1,2…

11

kλ1.4×10sin ===0.095， =5.48

11

2d2×7.32×10

22-4．以速度v=6×103 m/s运动的电子射入场强为E=5V/cm的匀强电场中加速，为使电子波长λ=1A，电子在此场中应该飞行多长的距离？

h解：λ== 34

==1×10 10mU=Ed

，得出d=30.2cm。

可得：U=150.9V，所以

22-5．设电子的位置不确定度为0.1A，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为

1keV，计算电子能量的不确定度。

解：由测不准关系：

1.05×10 34

p===5.25×10 24

10

2 2×0.1×10cE

可推出：

由波长关系式：λ=h

λ=h

c EE

λEE2

E===1.24×10 15J

22-6．氢原子的吸收谱线λ=4340.5A的谱线宽度为10上的平均寿命。

2

A，计算原子处在被激发态

hc，由于激发能级有一定的宽度ΔE，造成谱线也有一定宽度Δλ，两

hc者之间的关系为： E= λ2λ

解：能量E=hν=

由测不准关系， Ei t≥ /2,平均寿命τ=Δt，则

λ2λ2(4340.5×10 10)2τ= t== ===5×10 11s 2 108

22-7．若红宝石发出中心波长λ=6.3×10 7m的短脉冲信号，时距为1ns(10 9s)，计算该信号的波长宽度 λ。

解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系：

x=c t

λ2λ2

x==≈

xλ2(6.3×10 7)2

λ===1.323×10 3nm8 9

22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为 L θ≥h，式中 L为粒

子角动量的不确定度， θ为粒子角位置的不确定度。

证明：当粒子做圆周运动时，半径为r，角动量为：L=rmv=rp而做圆周运动时： x=r θ

利用： P x≥h代入，可得到： L θ≥h。

其不确定度 L=r P

22-9．计算一维无限深势阱中基态粒子处在x=0到x=L/3区间的几率。设粒子的势能分布函数为：

U(x)=0,0<x<L

U(x)=∞,x<0和x>L

解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0<x<l之间运动时，其定态归一

2nπ

sinx,0<x<L Ψn(x)=

化的波函数为： ll

Ψ(x)=0,x<0和x>L n

概率密度为：Pn(x)=

22nπsinx,0<x<Lll

l

3

粒子处在x=0到x=L/3区间的几率：Pn(x)=如果是基态，n=1，则Pn(x)=

∫

22nπ112nπsinx= sinll32nπ3

∫

l

3

22π112πsinx= sin=0.19522-10．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽L=10 14m。（1）质子的零点能量有多大？

（2）由n=2态跃迁到n=1态时，质子放出多大能量的光子？

h22

解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：En=n

8mah2

n=1时为零点能量：En==3.29×10 13J。

8ma

（2）由n=2态跃迁到n=1态时，质子放出光子的能量为：

h2

E=E2 E1=（4 1=9.87×10 13J。

8ma

22-11．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算n=3时氢原子可能具有的轨道角动量。解：当n=3，l的可能取值为：0，1，2。而轨道角动量L=

l（l+1所以L的取值为：0，2

22-12．氢原子处于n=2,l=1的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与z轴的夹角？解：l=1，所以轨道角动量：L=

l（l+1=2π

4

3π4

m=0，±1三个取向。夹角分别为：

Lz=0，θ=

π

2

Lz=θ=Lz=，θ=

思考题

22-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明：分别看这两个内容是什么：

2εh

玻尔理论中氢原于中的电子轨道：rn=n2r0=n202

πme

电子德布罗意波长：

1me4

先求其能量：En=2

n8ε02h2

再代入德布罗意波长求解式子中：λ=可见：rn=nλ

ε0h2h

=n

πme22mE

是它的整数倍。

22-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？

答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。

22-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，S为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，F为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板A，S1、S2分别为上、下方电子束的虚电子源，S1S=SS2，底板

A离源S的距离为D，

设D>>a，电子的动量为p，试求：（1）电子几率密度最大的位置；（2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。答：（1）电子的德布罗意波长：λ=

h

p

类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间

分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在±

DDhλ=±之间。d2ap

（2）相邻暗条纹的距离： x=

DDh

λ=d2ap

22-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图a所示，对应的总能量为

4eV，若它处于另一个波函数（如图b所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？

答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：En=E0n2。在a图中，n=2，所以粒子的零点能E0=1。

若它处于另一个波函数（n=3）的态上时，它的总能量是E3=E0n2=E032=9

22-5．图中所示为一有限深势阱，宽为a，高为U。（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。

d2ψ（1x）2mE答：第I区域定态薛定谔方程：+2（=01x）2

dx第II区域定态薛定谔方程：

d2ψ（2x）2m（E U）+（=02x）22dx边界条件：ψ（1

aa

=ψ（ 222aa

ψ（）=ψ12

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22-6．在钠光谱中，主线系的第一条谱线（钠黄线）是由3p 3s之间的电子跃迁产生的，它由两条谱线组成，波长分别为λ1=5889.963A和λ2=5895.930A。试用电子自旋来解释产生双线的原因。

答：Na光谱双线产生的原因是比电相互作用小的磁相互作用的结果，是自旋—轨道相互作用能，是一个小量。即电子轨道运动产生的磁场和电子自旋磁矩的作用，使原子的能级发生改变，其中电子自旋磁矩µs=

e

S，在Z方向投影有两条，所以Na光谱产生了双线。m