北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(文)试题(WORD精校版)

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学（文科）

2012.01

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的. （1）复数i(1 2i)

（A） 2 i （B）2 i （C）2 i （D） 2 i

（2）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF=

1 1

（A）AB+AD

22

1 1

（C）-AB+AD 22 1 1

（B）-AB-AD 22 1 1

（D）AB-AD

22

2

2

（3）已知数列{an}满足：a1 1, an 0, an 1 an 1(n N*)，那么使an 5成立的n的最大值为（ ）

（A）4 （B）5 （C）24 （D）25 （4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i值为

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（5）已知直线l1：k1x+y+1=0与直线l2：k2x+y-1=0，那么“k1=k2”是“l1∥l2”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）函数f(x)=Asin(2x+ )(A, R)的部分图象如图所示，那么f(0)=

（A）-

1

（B）-1 2

（D

）-

（C

）-

（7）已知函数f(x) xx 2x，则下列结论正确的是

（A）f(x)是偶函数，递增区间是(0,+

) （B）f(x)是偶函数，递减区间是(- ,1)

（C）f(x)是奇函数，递减区间是(-1,1) （D）f(x)是奇函数，递增区间是(- ,0)

（8）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离. 已知点A(1,0)，圆C：

x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是

（A）双曲线的一支 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）射线

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上. x2y2

（9）双曲线 1的离心率为

45

（10）已知抛物线y=ax过点A(,1)，那么点A到此抛物线的焦点的距离为

2

1

4

ìx+y-4 0,ïïï

（11）若实数x,y满足í2x+y-5 0, 则z=x+2y的最大值为

ïïïïîy-1 0,

（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：°C）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，

两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.

（13）已知圆C：(x 1) y 8，过点A( 1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直

线l的方程为 .

（14）已知正三棱柱ABC-A'B'C'的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设 ABC, A'B'C'的中心分别是O,O'，现将此三棱柱绕直线OO'旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应

2

2

甲城市 乙城市

9 0

8 7

7 3 1 2 4 7

2 2 0 4 7

的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为 ；最小正周期为 .

说明：“三棱柱绕直线OO'旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， A

2B，sinB （Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若b=2，求边a,c的长. (16)（本小题满分13分）

为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.

（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. （17）（本小题满分13分）

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC BD=O. （Ⅰ）若AC PD，求证：AC 平面PBD； （Ⅱ）若平面PAC^平面ABCD，求证：PB=PD； （Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面

P

. PAD，若存在，求

PM

的值；若不存在，说明理由. PC

D

A

2

(18)（本小题满分13分）

已知函数f(x) e(x ax a)，其中a是常数. （Ⅰ）当a 1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0, )上的最小值.

（19）（本小题满分13分）

x

OB

C

x2y21

已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的右焦点为F1(1,0)，离心率为.

ab2

（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；

（Ⅱ）设过点F1的直线交椭圆C于A,B两点，若 PAB的面积为

（20）（本小题满分14分） 若集合A具有以下性质：

①0 A，1 A；

②若x,y A，则x y A，且x 0时，则称集合A是“好集”.

（Ⅰ）分别判断集合B={-1,0,1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x,y A，则x y A； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p：若x,y A，则必有xy A； 命题q：若x,y A，且x 0，则必有

36

，求直线AB的方程. 13

1

A. x

y

A； x

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学（文科）

参考答案及评分标准 2012．01

一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

35

（10） （11）7 （12）乙，乙

24

（13）y=x+1或y=-x-1 （14）8；

3

（9）

注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.

三.

解答题：本大题共6小题，共80分.

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为A 2B，

所以cosA=cos2B=1

-2sinB. 2分 因为sinB

2

， 1

. 3分 3

（Ⅱ）由题意可知，BÎ(0,).

2

所以cosA=1-2?所以cosB=

13

5分 . 3

7分

所以 sinA=sin2B=2sinBcosB=

因为

ba

，b=2， =

sinBsinA

.

=

. 10分 所以a=

由cosA=

1

可知，AÎ(0,).过点C作CD^AB于D.

32

b?cosA

2?1

3

10. 3

所以c=a?cosB

13分

(16)（本小题满分13分）

解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙， 丙乙甲”. 2分 （Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，事件A包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 4分

P A

21

. 63

1. 3

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为

7分

（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B，事件B包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则 10分

P B

42

. 63

2. 3

所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为

13分

(17)（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD是菱形

所以 AC BD. 1分 因为 AC PD，PD BD D，

所以 AC 平面PBD. 3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD.

因为 平面PAC^平面ABCD，平面PAC 平面ABCD=AC，

BDÌ平面ABCD，

所以 BD 平面PAC. 5分 因为 POÌ平面PAC，

所以 BD PO. 7分 因为 底面ABCD是菱形， 所以 BO DO.

所以 PB=PD. 8分 （Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. 9分 假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD. 在菱形ABCD中，BC∥AD， P因为 ADÌ平面PAD，BCË平面PAD， 所以 BC∥平面PAD.

11分 因为 BMÌ平面PBC，BCÌ平面PBC，

D

A

B

O

M

C

BC BM=B，

所以 平面PBC∥平面PAD.

13分

而平面PBC与平面PAD相交，矛盾. 14分

(18)（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由f(x) e(x ax a)可得

f'(x) e[x (a 2)x]. 2分 当a 1时,f(1) e ,f'(1) 4e. 4分 所以 曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y e 4e x 1 ，

x

2x

2

即y 4ex 3e. 6分 （Ⅱ）令f'(x) e[x (a 2)x] 0，

解得x (a 2)或x 0. 8分

x

2

当 (a 2) 0，即a 2时，在区间[0, )上，f'(x) 0，所以f(x)是[0, )上的增函数.

所以f(x)的最小值为f(0)＝ a; 10分 当 (a 2) 0，即a 2时, f'(x),f x 随x的变化情况如下表

由上表可知函数f(x)的最小值为f( (a 2))

. a 2

e

13分 （19）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，

2

2

2

c1

，所以a=2. a2

所以 b=a-c=3.

x2y2

所以 椭圆C的标准方程为 1，左顶点P的坐标是(-2,0).

43

4分

（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x=my+1，A(x1,y1),B(x2

,y2).

22ìïxyï=1,ï+22

由í4可得：(3m

+4)y+6my-9=0. 3ïïïîx=my+1

所以 =36m+36(3m+4)>0，y1+y2=-

22

6m9

，. yy=-1222

3m+43m+4

7分

所以 PAB的面积S=

11

PF1y2-y1=创322

9分

=.

10分 因为 PAB的面积为

36，

13

2

=.

13

令t=

t2

=(t 1). 2

3t+113

解得t1=

1

（舍），t2=2.

6

-1=0.

所以m=

所以直线AB

的方程为x-1=

0或x-

13分 （20）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）集合B不是“好集”. 理由是：假设集合B是“好集”. 因为-1 B，1 B，所以-1-1=-2 B. 这与-2 B矛盾.

2分

有理数集Q是“好集”. 因为0ÎQ，1ÎQ, 对任意的x,yÎQ，有x-y Q，且x 0时，

1

ÎQ. x

所以有理数集Q是“好集”. 4分 （Ⅱ）因为集合A是“好集”，

所以 0 A.若x,yÎA，则0 y A，即 y A.

所以x ( y) A，即x y A. 7分 （Ⅲ）命题p,q均为真命题. 理由如下： 9分 对任意一个“好集”A，任取x,yÎA， 若x,y中有0或1时，显然xy A. 下设x,y均不为0，1. 由定义可知：x 1,所以

11

, A. x 1x

111

ÎA. - A，即

x(x-1)x-1x

所以 x(x-1) A.

由（Ⅱ）可得：x(x-1)+x A，即xÎA. 同理可得yÎA. 若x+y=0或x+y=1，则显然(x+y) A. 若x+y 0且x+y 1，则(x+y) A. 所以 2xy (x y) x y A. 所以

2

2

2

2

2

22

1

A. 2xy

111 A. xy2xy2xy

由（Ⅱ）可得：

所以 xy A.

综上可知，xy A，即命题p为真命题. 若x,yÎA，且x¹0，则所以

1

ÎA. x

y1=yxx

A，即命题q为真命题. 14分