几何五大模型第4讲-燕尾定理

几何五大模型精讲-第1讲-等积变换与共角定理

第四讲 燕尾模型

燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

S ABO:S ACO BD:DC S CAO:S CBO AF:FB

S BCO:S BAO CE:EA

A

E

燕尾模型可以存在于任何一个三角形之中。

F

B

D

C

【例1】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC 2:3,BD:DC 1:2，AD与BE

交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm，则三角形ABC的面积 ．

2

A

B

D

C

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【例2】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF

与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．

D

C

F

A

EB

【例3】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的

中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．

D

E

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【例4】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图， ABC中

BD 2DA，CE 2EB，AF 2FC，那么 ABC的面积是阴影三角形面积

的 倍．

B

C

【例5】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三

角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？

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【例6】(2007年四中分班考试题)如图， ABC中，点D是边AC的中点，点E、

F是边BC的三等分点，若 ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积

是_________．

A

D

N

B

EF

C

【例7】如图所示，在四边形ABCD中，AB 3BE，AD 3AF，四边形AEOF的

面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．

A

B

C

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作业题

1、 如图，已知BD DC，EC 2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

2、 如图，三角形ABC的面积是200cm，E 在AC上，点D在BC上，且AE:EC 3:5,BD:DC 2:3，AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等

2

于 ．

A

E

B

DC

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3、如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE，F是DG的中点．阴影

部分的面积是多少平方厘米?

A

B

DEC

A

xF

yyxG

DEC

B

4、如右图，三角形ABC中，BD:DC 4:9，CE:EA 4:3，求AF:FB．

FB

OD

E

C

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5、（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是

AC的中点，点D在BC上，且BD:DC 1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

A

E

B

DC

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答 案

【例 1】

A2

CD

B

连接CF,根据燕尾定理，设S△BDF 1份，则S△DCF份,S△EFC 4

SS△ABFBD1AE2

，△ABF , S△ACFDC2S△CBFEC3

2

2份，S△ABF 2份，S△AFC 4份，S△AEF 4 1.6

2 3

3

2.4份, 2 3

如图所标,所以SEFDC 2 2.4 4.4份,S△ABC 2 3 4 9份 所以S△ABC 22 4.4 9 45(cm2)

【例 2】

D

C

F

A

EB

连接AC、GB，设S△AGC 1份，根据燕尾定理得

S△AGB 1份，S△BGC 1份，

1 1 1） 2 6份，SADCG 3 1 4份， 则S正方形 （

所以SADCG 122 6 4 96(cm2)

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【例 3】

D

E

BC

连接BH,根据沙漏模型得BG:GD 1:2,设S△BHC 1份， 根据燕尾定理S△CHD 2份，S△BHD 2份，

1 2 2) 2 10份，SBFHG ， 因此S正方形 （

1

2

23

76

所以SBFHG 120 10 14(平方厘米).

76

【例 4】

如图，连接AI．

B

根据燕尾定理，S BCI:S ACI BD:AD 2:1，

S BCI:S ABI CF:AF 1:2，

所以，S ACI:S BCI:S ABI 1:2:4， 那么，S BCI

22

S ABC S ABC．

1 2 47

2

7

17

同理可知 ACG和 ABH的面积也都等于 ABC面积的， 所以阴影三角形的面积等于 ABC面积的1 3 ， 所以 ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．

27

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【例 5】

方法一：设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF FE， 再连结DE．

所以三角形DEF的面积为3. 设三角形ADE的面积为x， 则x: 3 3 AD:DB x 10 :10， 所以x 15，四边形的面积为18． 方法二：设S△ADF x，根据燕尾定理

S△ABF:S△BFC S△AFE:S△EFC,

得到S△AEF x 3，

再根据燕尾定理，有(x 3 7):7 x:3， 解得x 7.5四边形的面积为7.5 7.5 3 18

【例 6】

A

D

N

B

E

M

连接CM、CN．根据燕尾定理， S ABM:S ACM BF:CF 2:1，

F

C

而S ACM 2S ADM，所以S ABM 2S ACM 4S ADM，

BM 4DM，即

S BMF

BM

4BD5．

于是

BMBF4214 S BCD BDBC53215，

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S四边形CDMF

147

21530．

【例 7】

A4EB

6

8

6C

连接AO,BD,根据燕尾定理S△ABO:S△BDO AF:FD 1:2,S△AOD:S△BOD AE:BE 2:1,设S△BEO 1,则其他图形面积，如图所标，所以SBODC 2SAEOF 2 12 24.

作业题答案

1、

(法一)连接CF，因为BD DC，EC 2AE，三角形ABC的面积是30， 所以S△ABE S△ABC 10，S△ABD S△ABC 15．

13

12

根据燕尾定理，

14

S△ABFAE1SBD

，△ABF 1, S△CBFEC2S△ACFCD

所以S△ABF S△ABC 7.5，S△BFD 15 7.5 7.5， 所以阴影部分面积是30 10 7.5 12.5．

(法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABE S△ABC 10，

AFS△ABE1112

， S△BDE S△BEC S△ABC 10，所以

FDS△BDE1223

1

3

111111

S△DEF S△DEA S△ADC S△ABC 2.5，

223232

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2132

而S△CDE S△ABC 10．所以阴影部分的面积为12.5．

2、

A

E

B

D

C

B

FD

C

A

E

连接CF， 根据燕尾定理，

S△ABFBD26SAE36

, ，△ABF

S△ACFDC39S△CBFEC510

设S△ABF 6份，则S△ACF 9份,S△BCF 10份，S△EFC 9

S△CDF 10

545

份，

3 58

34545

6份，所以SDCFE 200 (6 9 10) ( 6) 8 ( 6) 93(cm2) 2 388

3、

A

B

DEC

12

12

55

设S△DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影 S△BCD 平方厘米.

4、

A

FB

OD

E

C

根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC

BD:CD 4:9 12:27

BOC

:S△ S△AOB AE:C E3:4 12 :1

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以S△AOC:S△BOC 27:16 AF:FB

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5、

A33CD

A

E

B

D

C

B

方法一：连接CF， 根据燕尾定理，

S△ABFBD1SAE ，△ABF 1, S△ACFDC2S△CBFEC

设S△BDF 1份，则S△DCF 2份，S△ABF 3份，S△AEF S△EFC 3份，如图所标

55S△ABC 121211

方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD S△ABC ，

33

BFS△ABD11121

， S△ADE S△ADC S△ABC ，所以

FES△ADE12233

所以SDCEF

1111111

S△DEF S△DEB S△BEC S△ABC ，

22323212

而S△CDE S△ABC ．所以则四边形DFEC的面积等于

2132135． 12

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