jsh第二章控制系统的数学模型

第一章要点回顾(定性知识)

典 型 输 入 信 号

自 动 控 制 系 统 的 基 本 要 求

自 方自 原反 自 动 式动 理馈 动 控 控 方控 控 制 制 框制 制 系 系 图系 系 统 统 统 统 的 的 的 的 基 基 分 基 本 本 类 本 组 概 控 成 念 制 、

第二章

控制系统的数学模型

2.1 引言 2.2 时域数学模型 2.3 复数域数学模型 2.4 结构图、信号流图与梅逊公式 2.5 反馈控制系统的传递函数

千里之行，始于足下。

2.1一.数学模型

引 言

1.定义： 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及系统内部各物理 量之间关系的数学表达。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。 2.为什么要建立数学模型： 我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的 工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的系 统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的 数学模型。它是分析和设计系统的依据。 另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统， 其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不 单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关 系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系 统的数学模型。(比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学 3 表达式分析，具有相同的数学模型。)

二.

物理模型

任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它 作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化 是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求， 来确定出合理的物理模型。(电子放大器 看成 理想 的线性放大环节；通讯卫星 看成 质点 。)

三、

数学模型的几种表示方式数学模型

时域模型

频域模型

方框图和信号流图

状态空间模型

微分方程

传递函数

同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响 应时须用时域模型，研究频域响应时则要用频率特性。5

四、

建立数学模型的方法 ：

目前工程上采用的方法主要是 a、分析计算法(机理建模，解析)-分析计算 法是根据支配系统的内在运动规律(物理规 律、化学规律等)以及系统的结构和参数， 推导出输入量和输出量之间的数学表达式， 从而建立数学模型——适用于简单的系统 b、工程实验法(实验建模、辨识)-它是利用 系统的输入--输出信号来建立数学模型的方 法。通常在对系统一无所知的 情况下，采用 这种建模方法。6

输入

黑盒(灰盒)

输出

但实际

上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰 盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方 便地建立系统的数学模型。 理论上，没有一个数学表达式能够准确(绝对准确) 地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线 性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越 复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运 动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模， 进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模 型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。不能过于简化， 而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使 系统的数学模型过于复杂。 7

分析法建立系统数学模型的几个步骤： 建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理、化学 规律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电 压定律、能量守恒定律等) 选定系统的输入量、输出量及状态变量 (仅在建立状态模型时要求),消去中 间变量，建立适当的输入输出模型或状 态空间模型。8

实验法-基于系统辨识的建模方法输入(已知) 黑匣子 已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较， 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。9

输出(已知)

2.2 微分方程模型(时域模型)2.2.1 建立微分方程模型(最基本数学模型)的 基本步骤：在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条 件下，都可以用线性微分方程来描述。 (1)分析系统的工作原理，确定系统、各元件的 输入输出物理量； (2)根据物理定律或化学定律(机理),列出各 元件或环节的原始方程，在条件允许的情况下忽略 次要因素，适当简化； (3)消去中间变量，写出输入、输出变量的微分 方程。 (4)标准化。10

2.2.2

例题解析R1 R2

例2-1 电路网络 图2-1为由一RC组 成的四端无源网 络。试列写以U1 (t)为输入量， U2(t)为输出量的 网络微分方程。U1

C1

C2

U2

图2-1 RC组成的四端网络

解： 设回路电流i1、i2,根据克希霍夫定律，列写方程 如下：

U 1 R1i1 U c1

① ② ③ ④ ⑤

U c1

U c1 R2 i2 U c 2

1 (i1 i2 )dt C11 i2 dt C2

U c2

U 2 U c2由④、⑤得

dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt由②导出dU c1 dU c1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt

将i1、i2代入①、③,则得

U1 R1i1 R2 i2 U c 2 R1 (C1 dU c1 dU 2 dU 2 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt13

R1[C1

dU 2 dU 2 d ( R2 i2 U 2 ) C 2

] R2 C 2 U2 dt dt dt

d 2U 2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1 R2 C 2 R1C1 R1C 2 R2 C 2 U2 2 dt dt dt dt

d 2U 2 dU 2 R1 R2C1C2 ( R1C1 R1C2 R2C2 ) U 2 U1 2 dt dt

这就是RC组成的四端网络的数学模型，是 一个二阶线性微分方程。

注意： 整个电路虽然是由两个RC电路所组成，但 不能把它看作是两个独立的RC电路的连接。因 为第二级电路的i2要影响第一级电路的uc1,列 写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一 级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必 须把全部元件作为整体来加以考虑。本例若不 考虑负载效应时，有：消去中间变量得： 第一级 R1C1 dU c1 U c1 U1 dt 得： dU c 2 R2 C2 U c 2 U c1 第二级 dtd 2U 2 dU2 R1R2C1C2 2 ( R1C1 R2C2 ) U 2 U1 显然，与前面 dt dt

得到的结果不同。

例2-2 机电系统试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统 (即两系统具有相同的数学模型)。图2-2 机电相似系统

R2

C2

B1

K1 Xr

Ur

R1 C1

Uc

B2

K2 Xc (b) 电气系统

(a) 机械系统