在平面几何中关于形如c=a+nb的教学训练(截长补短法)

在平面几何中关于形如c=a+nb的教学训练

教学目的与要求：用三角形全等解决一般的几何问题，力求用全等三角形与其他知识板块取得联系，达到中和运用的目的，用于提高学生分析问题解决问题的能力。

在平面几何中，我们常遇到这样一类题型：c=a+b、

b等。很多同学遇到此类问题感到非常

的困惑，不知道怎样证明，今天我们就来探讨解决这类问题的证明方法。

例1、 如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，过点作直线L（B、C在L的同侧），作BD⊥L于D，CE⊥L

于E。求证：DE=BD+CE

L

图1

C

分析：对于证明题，我们首先要从问题出发，看清他让我们干什么？对于这样的证明题，一般我们不能直接证明他所要求的线段间的关系，而是需通过等长线段间的代换来证明。通过观察，我们可看出 △ABD≌△CAE，则AD=CE，BD=AE，而DE=AD+AE，所以DE=BD+CE

证明：略

小结：通过这道题我们可以发现对于此类题我们可以采用下列方法去解决：在最长的线段上需找到一点使这点把这条最长的线段分成两部分使其分别与另外两条较短的线段相等。

例2、已知:如图2AC//BD，∠B=90°，EA、EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E。

求证：AB=AC+BD

C

C

H

E

E

D D

B B 备用图 图2

分析：在例1中，我们是通过图中所给出的等量线段间的代换证明的，而在这个题中，没有出现与AC和BD

相等的线段，因此我们需要做辅助线勾画出分别与AC和BD相等的线段。因此我们在AB上取一点H使AH=AC，然后连接HE，只要证明BH=BD此题即可证。那如何证明BH=BD呢？经观察可知（提问让学生回答）证明 △BEH≌△BED即可。

分

书写解题过

析问题过程

∠BHE+∠AHE=180° ∠∠C ∠C+∠D=180°

△AEH≌△AEC

证明：略

程

师生互动：

师：为什么截取AH=AC而不是截取AH=BD呢？

生：因为AH和AC有公共的顶点A，而且AE是公共边，∠CAE=∠HAE，截取AH=AC易于出现

△AEH≌△AEC。

师：因此检验截取方法正确与否的标准是：截取后立刻出现三角形全等

小结：解这类题的口诀 证明和差并不难， 确定长边是关键。 顺着长边找等角，

等角就在长边端。 沿着等角找等边， 抓住长边截线段。 全等就用边角边。

课后练习：

1、 如图3，已知△ACE和△BCD是等边三角形，A、B、C在同一条直线上，AD、BE交与点P，连接PC。

求证：①AD=BE

E ②AD=PE+PC+PD

A

图3

2、 如图4，已知△ABC，D为CA延长线上的一点，AP平分∠BAD，E为BC的中点，PE⊥BC，PH⊥CD.

求证：AB=AH+HC

A H C

B

D

B

图4

C

3、 已知:如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB外一点（D、C在AB同侧），BD⊥AD。

求证：

AD=BD+。

D

图5

B

4、 如图6，已知平行四边形ABCD中，AE⊥DC于E，AE=EB，P为DE上一点，EF⊥BD于F。

求证：

BF=EF+

D

P

E 图6

C

B

5、 已知：如图7，在⊙O中，AB=AC,D为弧AC上任意一点，连接CD 、BD,作AE⊥BD于点E。

求证：BE=CD+DE

A

图7