第三章 扭转-习题答案

材料力学

3-1ab 作图求各杆的扭矩图 解：（1）轴的扭矩图分成二段，整个轴上无均布荷载扭矩图为间断水平线。 左段：T左 6kN m（背正）

右段： T右 6 10 4kN m（指负背正），或T右 4kN m（指负） （2）画扭矩图如图题3-1(a)所示。从左至右，扭矩图的突变与外力偶矩转向一至，突变之值为外力偶的大小（从前往后看）

(a4

(b)

T题3-1（a）

(b)

（kNm）T图

解：（1）轴的扭矩图分成二段，轴上的右段有均布荷载，该段扭矩图向下倾斜线段。左段无均布荷载，扭矩图为水平线段。

左段：TAB 2 2 4kN m 右段： TB 2 2 4kN m

题3-1（b）

TC 0

（2）画扭矩图如图题3-1(b)所示。扭矩图集中力偶处发生突变，而有均布力偶段扭矩图呈线性。显而易见，A端有大小为4kN m，力偶矩矢向左的外力偶。

3-2图示钢质圆轴，D 100mm,l 1.2m,m 15kN m。试求：（1）n-n截面上A、B、C三点的剪应力数值及其方向（保留n-n截面左段）；（2）最大剪应力 max；（3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）圆轴受力偶作用面与轴线垂直的一对外力偶作用，发生扭转变形。由于扭矩在整个轴内无变化，可不画扭矩图。

（2）扭转圆轴上各点的剪应力应在各自的横截面内，垂直于所在的“半径”，与扭矩的转向一致，如图3-2(c)所示。

由求扭转剪应力的公式知：

TTD15 1030.1

A B Pa 76.43MPa 44

IP2 D23.14 0.1

3232

TTD14 1030.1

C Pa 38.21MPa

IP D443.14 0.144

3232

材料力学

（2）最大剪应力 max，圆轴发生扭转时，边缘各点的剪应力最大。

max A B 76.43MPa

（3）由公式求两端截面的相对扭转角。

T l

GIP

15 103 1.280 109

32

2.29 10 2(rad) 1.31

0.14

题3-2

A(c)

(b)T图

A0

题3-3

3-3图示钢制传动轴，A为主动轮，B、C为从动轮，两从动轮转矩之比轴径D 100mm。试按强度条件确定主动轮的容许转矩 mA 。

mB

C

，

解：（1）圆轴所受力偶的作用面与轴线垂直，轴发生扭转变形。扭矩图如图所示，危险面是AC各横截面，危险点是AC段表面各点。Tmax

（2）由强度条件确定主动轮的容许转矩 mA

3

mA 5

3mA

Tmax3 16mA6 max 60 10

35 0.13Wt

D 16

5 0.13 60 106

mA N m 19.63kN m

48

mA 19.63kN m

3-4某薄壁圆筒，其平均半径R 30mm，壁厚t 2mm，长度l 300mm，当

T 1.2kN m时，测得圆筒两端面间扭转角 0.76，试计算横截面上的剪应力和圆筒材

料的剪变模量G。

材料力学

解：由薄壁圆筒剪应力公式计算横截面上的平均剪应力：

T1200

Pa 106MPa，各点剪应力垂直于该点与圆心的连

2 R2t2 0.032 0.002

线，与扭矩转向一致。

（2）求圆筒材料的剪变模量G

由剪切胡克定律可知： G G

……………………（a）

由变形协调条件知： l ……………………（b）

l

将（b）式代入（a）得：

106 106

G l 0.3Pa 80MPa

R 0.03 0.76

180

注意：若采用空心圆轴计算：

1200 31 10 3

32

624 10 12 (1 (

1200 0.3

584

))62

Pa 109.5MPa

0.76

G

32

62 10

4 12

58 (1 ()4)

62

180

32 1200 0.3 1012180

G Pa 79.9GPa

5840.76 24

62 (1 ())

62

3-5 某空心钢轴，内外直径之比 0.8，传递功率P 60kW，转速n 250转/分，单位长度允许扭转角 0.8/m，试按强度条件与刚度条件选择内外径d、D。

解：（1）计算外力偶矩：

mA Pn

9550

60

2292N m 250

圆轴受力偶作用面与轴线垂直的一对外力偶作用，发生扭转变形。由于扭矩在整个轴内

材料力学

无变化，可不画扭矩图。

（2）按强度条件确定轴的外径D1：

max

TmaxTmax

Wt

D131 416

D1 16Tmax16 2292

m 0.069m 69mm

1 4 60 106 1 0.84

（3）按刚度条件确定轴的外径D2：

max

Tmax180

GIP

Tmax

G

D2

32

4

1

4

180

D2 32 180Tmax32 180 2292

m 0.077m 77mm24294

G 1 80 10 0.8 1 0.8

故，D max(D1,D2) 77mm

3-8图示钢制圆轴，受力和尺寸如图(a)所示。试校核轴的强度和刚度。

T图（kNm(b)

0.8

解：（1）圆轴所受力偶的作用面与轴线垂直，轴发生扭转变形。扭矩图如图所示，AC、AB各横截面均是危险面，危险点是圆轴表面各点。

1）强度校核： AB：

题3-8

max,AB

TAB600

47.75MPa n 60MPa Wt,AB

0.04316

材料力学

AC：

max,AC

TAD800

Pa 11.88MPa n 60MPa Wt,AC3

0.0716

强度足够。

3）刚度校核：必须分段计算AB、AC两段。 AB：

AB

TAB180 GIP

AC：

600

80 109

32

0.044

180

1.71 /m 1 /m

AC

TAC180 GIP,AC

800

80 109

32

0.074

180

0.243 /m 1 /m

轴的刚度不够。

3-11一矩形截面杆，承受力偶m 3kN m.(1)计算最大剪应力 max。（2）若改用横截面面积相等的圆截面杆，试比较两者的最大剪应力 max。

3kN(a)

m

题3-11

解：（1）求矩形截面的τmax

最大剪应力τmax发生在横截面两长边的中点。 因h/b=90/60=1.5，查表可得： 0.346， 故，Wt

b3 0.346 0.063

材料力学

max

T3 103 Pa 41.14MPa 3Wt0.346 0.06

（2）求圆形截面的τmax

与矩形面积相同的圆截面的直径d

0.090 0.060

4

d2 d

4 0.090 0.060

0.0829m，则圆形截面的

max

T3 103 Pa 26.79MPa

W

0.0829316

3-12图示两端固定的阶梯形圆轴，受一力偶m作用，d1 2d2。试求固定端力偶矩mA与mA，并作扭矩图

(a)

(b)

mA

(c)T图

m

(d)

T图

（kNm）

解：（1）超静定梁的受力如图(b)所示，所对的扭矩图如图(c)所示。 （2）列杆的静力平衡方程，则

m mA mB 0 mA m mB

2）变形协调关系：

AC 0

AC AB BC

B

mA a mB 2a

0GIP1GIP2

mA a mB 2a

0 d14 d24GG3232mA 2mB

044

d2d22

题3-12

mA

2mB 0 mA 32mB16

将mA 32mB代入静力平衡方程mA m mB：

32mB m mB mB

m32m,mB 3333