信号与系统课件第3章

信号与系统课件

第 3 章

傅里叶变换分析

3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶变换 3.2 典型周期信号的频谱 3.3 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的频谱

3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换3.7 取样信号的傅里叶变换

3.8 调制信号的傅里叶变换3.9 系统的频域分析

3.10 信号的传输与滤波

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3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析 中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号 的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。 3.1.1 三角形式的傅里叶级数

2 1 2 f1 设周期信号为f(t), 其重复周期是T1,角频率 T1

f (t ) a0 (an cosn 1t bn sin n 1t )n 1

(1)

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T1 T1 以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T1 或 ~ 2 2 三角形式的傅里叶级数也可表示成：

1 t0 T1 直流分量： a0 t0 f (t )dt T1 2 t0 T1 余弦分量的幅度： an t0 f (t ) cosn 1tdt T1 2 t0 T1 正弦分量的幅度： bn t0 f (t ) sin n 1tdt T1

f (t ) c0 cn cos(n 1t n )其中n 1

(2)

c a b2 n 2 n

2 n

bn n arctan( ) an

c0 a0

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an为 n 1 的偶函数， bn 为 n 1 的奇函数 cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数 3.1.2 指数形式的傅里叶级数

f (t ) 其中

n

Fn e jn 1tf (t )e jn 1t dt

(3) ------ 复振幅

1 Fn T1

t0 T1

t0

F0 a0 c0

1 Fn Fn e (an jbn ) 2 bn 1 2 2 1 n arctan ( ) Fn an bn cn an 2 2j n

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3.1.3 周期信号的频谱及其特点1. 周期信号的频谱

f (t ) a0 (an cosn 1t bn sin n 1t )n 1

(1) (2)

f (t ) c0 cn cos(n 1t n )n 1

f (t )

n

Fn e jn 1t

(3)

为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量， 各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。 如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 cn 及 n 等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位 情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位 频谱。

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例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。f (t )

解：一个周期内 f (t ) 的表达式为： E 2 f (t ) E 2 T 0 t 1 2 T1 t

T1 2 T1 2

E 2 T1 20

T1

t

E 2

1 T1 a0 f (t )dt 0 T1 02 bn T1 0T1

2 T1 an f (t ) cosn 1tdt 0 T1 0n 1,3,5 n 2,4,6

2E f (t ) sin n 1tdt n 0

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cn bn

因此

bn n arctan( ) an 2

2E n 0

n 1,3,5 n 2,4,6

(n 1,3,5 )

1 f (t ) 5 n sin n 1t n 1,3, 1 1 (sin 1t sin 3 1t sin 5 1 ) 3 51 f (t ) n cos(n 1t 2 ) n 1,3,5 2E

2E

2E

或

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jE bn 1 Fn (an jbn ) j n 2 2 0f (t ) jE

n 1, 3, 5 n 2, 4, 6

e

j 1t

jE j 3 1t jE j 1t jE j 3 1t e e e 3 3

Fn

E (n 1, 3, 5 ) n

2 (n 1,3,5 ) n (n 1, 3, 5 ) 2

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2E cn n 0

n 1,3,5 n 2,4,6

E Fn n

(n 1, 3, 5 )

n 2 cn 2 E 2E 3

(n 1,3,5 )

2 n 2

(n 1,3,5 ) (n 1, 3, 5 )Fn E

2E 5

E 3

n

0 1 0

3 1 5 1

5 1 3 1 1

n

1 2

3 1

5 1

E 5

1 3 1

5 1

5 1 3 1 1

2

1

3 1 5 1

2

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2. 周期信号频谱的特点(1)离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。 (2)谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。 (3)收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n 而逐渐 衰减到零。

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3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系 已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)是实函数而且 它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现， 留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有 两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。 (1)偶函数

f (t ) f ( t )

2 bn T1

T1 2 T 1 2

f (t ) sin n 1tdt 0

1 T1 2 T1 a0 2 1 f (t )dt 2 f (t )dt T T1 2 T1 0 T1 T1 2 2 4 2 an T1 f (t ) cosn 1tdt f (t ) cosn 1tdt T1 2 T1 0所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有(直流)和余弦分量。

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(2)奇函数

f (t ) f ( t )1 21 a0 T1 f (t )dt 0 T1 2 T 2 21 an T1 f (t ) cos n 1tdt 0 T1 2T

2 bn T1

T1 2 T 1 2

4 f (t ) sin n 1tdt T1

T1 2 0

f (t ) sin n 1tdt

所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分 量，只可能包含正弦分量。

(3)奇谐函数

T1 f (t ) f (t ) 2 T1 f (t ) f (t ) 2

或

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(3)奇

谐函数例如

T1 f (t ) f (t ) 2

f (t )T1 T1 2 T1 2

T1 f (t ) 2T1 2 T1 2

t

T1

t

T1 f (t ) f (t ) 2T1 T1 2 T1 2

t

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a0 0( n 2,4,6 ) 0 an 4 T1 2 T 0 f (t ) cos n 1tdt ( n 1,3,5 ) 1 ( n 2,4,6 ) 0 bn 4 T1 2 T 0 f (t ) sin n 1tdt ( n 1,3,5 ) 1可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。

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(4)偶谐函数

T1 f (t ) f (t ) 2 f (t )

T1 T1 2 4 T1 4 T1 2

t

在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有(直流)与偶次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。 例3-2:f (t )

t' T1 2 T1 2

f(t)的傅里叶级数中包含 直流分量和偶次谐波的 正弦分量。

T1

t

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3.1.5 吉伯斯(Gibbs)现象f (t )E 2

n=1 8.95%E

n=1: n=3:

f (t )

2E

sin 1t

n=5 n=3T1 2 E 2

1 f (t ) (sin 1t sin 3 1t ) 3t

2E

n=5:2E

1 1 f (t ) (sin 1t sin 3 1t sin 5 1 ) 3 5

1 1 f (t ) (sin 1t sin 3 1t sin 5 1 ) 3 5演示

2E