利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1.形如an 1 an f(n)型

（1）若f(n)为常数,即：an 1 an d,此时数列为等差数列，则an=a1 (n 1)d. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 an 1 an f(n)得：

n 2时，an an 1 f(n 1)，

an 1 an 2 f(n 2)，

a3 a2 f(2) a2 a1 f(1)

所以各式相加得 an a1 f(n 1) f(n 2) f(2) f(1)

即：an a1

f(k).

k 1

n 1

为了书写方便，也可用横式来写： n 2时，an an 1 f(n 1)，

an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1

=f(n 1) f(n 2) f(2) f(1) a1.

例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足a1 1,an 3n 1 an 1(n 2),

3n 1

证明an

2

证明：由已知得：an an 1 3n 1,故

an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1

n 1

n 2

3n 13n 1

3 1 . an =3 3.

22

例2.已知数列 an 的首项为1，且an 1 an 2n(n N*)写出数列 an 的通项公式.

2

答案：n n 1

例3.已知数列{an}满足a1 3，an an 1 答案：an 2

1

(n 2)，求此数列的通项公式.

n(n 1)

1 n

评注：已知a1 a,an 1 an f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数

函数、分式函数，求通项an.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

1n

(an ),求数列{an}的通项公式. 2an

1n1n

解:由已知Sn (an )得Sn (Sn Sn 1 ),

2an2Sn Sn 1

例4.已知数列{an}中, an 0且Sn

2222

化简有Sn Sn 1 n,由类型(1)有Sn S1 2 3 n,

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

2

又S1 a1得a1 1,所以Sn

则an

n(n 1)

,又an 0,sn 2

2n(n 1) 2n(n 1)

2n(n 1)

,

2

2

此题也可以用数学归纳法来求解. 2.形如

an 1

f(n)型 an

an 1

q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，an

（1）当f(n)为常数，即：

an=a1 qn 1.

（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.

an 1a

f(n)得 n 2时，n f(n 1)， anan 1

anan 1a2

a1=f(n)f(n-1) f(1) a1. an

an 1an 2a1

由

22

例1.设 an 是首项为1的正项数列，且 n 1 an2， 3，…）， 1 nan an 1an 0（n=1，

则它的通项公式是an=________.

解：已知等式可化为：(an 1 an) (n 1)an 1 nan 0

an 0(n N*) (n+1)an 1 nan 0, 即 n 2时，

an 1n

ann 1

ann 1

an 1naaan 1n 211

1=. an n n 1 2 a1=nn 12nan 1an 2a1

评注：本题是关于an和an 1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an 1的更为明显的关系式，从而求出an.

例2.已知an 1 nan n 1,a1 1,求数列{an}的通项公式. 解：因为an 1 nan n 1,所以an 1 1 nan n, 故an 1 1 n(an 1),又因为a1 1,即a1 1 0，

an 1 1

n,故由累乘法得 所以由上式可知an 1 0,所以

an 1

a 1an 1 1a 1a2 1

an 1 n 3 (a1 1)

an 1 1an 2 1a2 1a1 1

(a1 1) =(n 1) (n 2) 2 1 (a1 1) (n 1)!

(a1 1)-1. 所以an (n 1)!

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an 1 nan n 1,转化为

an 1 1 n(an 1),若令bn an 1,则问题进一步转化为bn 1 nbn形式，进而应用累乘

法求出数列的通项公式. 3.形如an 1 an f(n)型

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

（1）若an 1 an d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an 1 an f(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得an 1 an 1 f(n) f(n 1)，，分奇偶项来分求通项. 例1. 数列{an}满足a1 0,an 1 an 2n,求数列{an}的通项公式. 分析 1：构造 转化为an 1 an f(n)型 解法1：令bn ( 1)nan

则bn 1 bn ( 1)n 1an 1 ( 1)nan ( 1)n 1(an 1 an) ( 1)n 1 2n.

bn bn 1 ( 1)n 2(n 1) n 1

bn 1 bn 2 ( 1) 2(n 2)

n 2时,

b b ( 1)2 2 1

1 2

b1 a1 0

各式相加:bn 2( 1)n(n 1) ( 1)n 1(n 2) ( 1)3 2 ( 1)2 1

当n为偶数时，bn 2 (n 1) ( 1) 此时an bn n

n 2

n. 2

n 1

) n 1 2

此时bn an,所以an n 1.

当n为奇数时，bn 2(

n 1,n为奇数,

an

n,n为偶数.

解法2： an 1 an 2n n 2时，an an 1 2(n 1)， 两式相减得：an 1 an 1 2.

a1,a3,a5, ,构成以a1,为首项，以2为公差的等差数列; a2,a4,a6, ,构成以a2,为首项，以2为公差的等差数列 a2k 1 a1 (k 1)d 2k 2 a2k a2 (k 1)d 2k.

故 an

n 1,n为奇数, n,n为偶数.

12

评注：结果要还原成n的表达式.

例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足

n 1

Sn－Sn－2=3( )(n 3),且S1 1,S2

解：方法一：因为Sn Sn 2

以下同例1，略

3

,求数列{an}的通项公式. 2

1

an an 1所以an an 1 3 ( )n 1(n 3),

2

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1n 1 4 3 (),n为奇数, 2

答案 an

1 4 3 ()n 1,n为偶数.

2

4.形如an 1 an f(n)型

（1）若an 1 an p(p为常数)，则数列{an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得an an 1 f(n 1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

n*

例1. 已知数列{an}满足a1 3,an an 1 (),(n N),求此数列的通项公式.

12

注：同上例类似，略.

5．形如an 1 can d,(c 0,其中a1 a)型 （1）若c=1时，数列{an}为等差数列; （2）若d=0时，数列{an}为等比数列;

（3）若c 1且d 0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

方法如下：设an 1 c(an ),

得an 1 can (c 1) ,与题设an 1 can d,比较系数得

d

,(c 0) c 1dd

c(an 1 ) 所以有：an

c 1c 1

dd

因此数列 an 为首项，以c为公比的等比数列， 构成以a1

c 1c 1

dd

(a1 ) cn 1 所以 an

c 1c 1

dd) cn 1 即：an (a1 . c 1c 1

dd

c(an ),构造成公比为c的等比规律：将递推关系an 1 can d化为an 1

c 1c 1

ddd从而求得通项公式an 1 cn 1(a1 ) 数列{an

c 11 cc 1

有时我们从递推关系an 1 can d中把n换成n-1有an can 1 d,两式相减有(c 1) d,所以

an 1 an c(an an 1)从而化为公比为c的等比数列{an 1 an},进而求得通项公式. an 1 an cn(a2 a1),再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

11

例1．已知数列{an}中，a1 2,an 1 an ,求通项an.

22

d

分析：两边直接加上,构造新的等比数列。

c 1111

解：由an 1 an ,得an 1 1 (an 1),

222

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

所以数列{an 1}构成以a1 1 1为首项，以

n 1n 1

1. 所以an 1 (),即 an ()

1

为公比的等比数列 2

1212

方法二：由 an 1 can d,

n 2时，an can 1 d,

两式相减得 an 1 an c(an an 1) an 1 an

c,

an an 1

数列{an an 1}是以a2 a1=(c 1)a1 d为首项，以c为公比的等比数列.

an an 1 (a2 a1) cn 2

an 1 an 2 (a2 a1) cn 3

an a1 (a2 a1)(1 c cn 2)

a3 a2 (a2 a1) c

a2 a1 a2 a1

1 cn 1dd

)cn 1 =(a2 a1) an (a . c 1c 11 c

方法三：迭代法

由 递推式an 1 can d,

直接迭代得an can 1 d c(can 2 d) d c2an 2 d(c 1) =c3an 3 d(1 c c2) =cn 1a1 d(1 c c2 cn 2) =(a

dd)cn 1 . c 1c 1

方法四：归纳、猜想、证明.

先计算出a1,a2,a3,再猜想出通项an,最后用数学归纳法证明. 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同. 6.形如an 1 pan f(n)型

.(1)若f(n) kn b(其中k,b是常数，且k 0) 方法：相减法

例1. 在数列{an}中，a1 1,an 1 3an 2n,求通项an. 解： ，an 1 3an 2n, ①

n 2时，an 3an 1 2(n 1)，

两式相减得

an 1 an 3(an an 1) 2.令bn an 1 an,则bn 3bn 1 2

利用类型5的方法知bn 5 3n 1 2 即 an 1 an 5 3n 1 1 ②

5n 11 3 n . 22

5n 11

亦可联立 ① ②解出an 3 n .

22

再由累加法可得an

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

3

,2an an 1 6n 3,求通项an. 2

解：原递推式可化为2(an xn y) an 1 x(n 1) y

例2. 在数列{an}中，a1

比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bn bn 1 所以 bn 是一个等比数列，首项b1 a1 6n 9

91,公比为. 22

91n 11

() 即：an 6n 9 9 ()n 222

1n

故an 9 () 6n 9.

2

(2)若f(n) qn(其中q是常数，且n 0,1) bn

①若p=1时，即：an 1 an qn，累加即可. ②若p 1时，即：an 1 p an qn， 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以pn 1. 即：

an 1pn 1

anqn

n 1

an1pn1p

(),令bn n，则bn 1 bn ()n, pqpqp

然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以q令bn

. 即：

anq

n

,则可化为bn 1

pan1

,

qn 1qqnqp1

bn .然后转化为类型5来解， qq

an 1

iii.待定系数法：

设an 1 qn 1 p(an pn).通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项. 例1.（2003天津理）

设a0为常数，且an 3n 1 2an 1(n N)．

证明对任意n≥1，an [3n ( 1)n 1 2n] ( 1)n 2na0；

15

( 2)n( 2)n 1

an13n

b b ( ) 令bn ,则nn 1n

32( 2)

bn (bn bn 1) (bn 1 bn 2) (b2 b1) b1 1 333 a= ( )n ( )n 1 ( )2 1 3 222 2

33( )2[1 ( )n 1]1122 (1 2a0) =

3321 ( )

2

13n

= [( ) 1] a0

52

1

an ( 2)nbn [3n ( 1)n 1 2n] ( 1)n 2na0.

5

证法1：两边同除以（-2）,得

n

an

an 1

13 ( )n 32

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

12an 1 n 1. n

3333

an21121

设bn n，则bn bn 1 . 即：bn (bn 1 ),

335353

12121

所以 bn 是以b1 ( a0)为首项， 为公比的等比数列.

53535

1212n 11n 12n

则bn ( a0)( )=( a0)( 1)(),

535353an121 bn ( a0)( 1)n 1()n , 即：n

5353

证法2：由an 3n 1 2an 1(n N)得

an

故 an [3n ( 1)n 1 2n] ( 1)n 2na0.

评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求

一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 证法3：用待定系数法

设an 3n 2(an 1 3n 1), 即:an 2an 1 5 3n 1, 比较系数得： 5 1,所以

n

15

1n1n 11

所以an 3 2(an 1 3),

555

5

3n 是公比为－2，首项为3所以数列 a1 的等比数列. an

5

1nn 1nnn3n3

an (1 2a0 )( 2)n 1(n N). 即 an [3 ( 1) 2] ( 1) 2a0.

555

方法4：本题也可用数学归纳法证.

（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立； ( ii)假设当n=k（k≥1）等式成立，则ak

kk

那么ak 1 3 2ak 3

1k

[3 ( 1)k 12k] ( 1)k2a0, 5

2k

[3 ( 1)k 12k] ( 1)k2k 1a0 5

1k 1

[3 ( 1)k2k 1] ( 1)k 12k 1a0. 5

也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成

立. 规律：an 1 pan f(n) 类型共同的规律为：两边同除以p方法不同. 7.形如an 1

n 1

，累加求和，只是求和的

pan q

型

ran s

pan 1

（1）p,r,s 0,q 0即an 取倒数法.

ran 1 s

an 1

(n 2)，求通项公式an。 例1. 已知数列 an 中，a1 2，an

2an 1 1

1111

解：取倒数： 2 2

anan 1anan 1

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

113 (n 1) 2 2n ana12

2

.4n 3

an

1111

[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表23n2

示不超过lo2gn的最大整数. 设数列{an}的各项为正，且满足

例2.（湖北卷）已知不等式

a1 b(b 0),an

（Ⅰ）证明an

nan 1

,n 2,3,4,

n an 1

2b

,n 3,4,5,

2 b[log2n]

分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题. 证：∵当n 2时,0 an

nan 11n an 111

, ,

n an 1annan 1an 1n

111111111111

即 , 于是有 , , , .

a2a12a3a23anan 1nanan 1n

11111

所有不等式两边相加可得 .

ana123n

111

由已知不等式知，当n≥3时有， [log2n].

ana122 b[log2n]1112b

[log2n] .an . ∵a1 b,

anb22b2 b[log2n]

评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得. 2.形如an 1

man p

(m,p,q为定值)型

an q

方法：不动点法: 我们设f(x)

man pmx p

,由方程f(x) x求得二根x,y,由an 1 有

x qan q

man pmx pmq pan x

an 1 x

an qx qx qan q

man pmy pmq pan y

同理an 1 y ,两式相除有

an qy qy qan q

an 1 xan 1 xy qan xy qn 1a1 x

() ,从而得,再解出an即可.

an 1 yx qa1 yan 1 yx qan y

5an 4

,求｛an｝的通项公式.

2an 7

例1. 设数列｛an｝满足a1 2,an 1

分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：

an 1

7t 4

5a 4(2t 5)an 7t2t 5, t n t (2t 5)2an 72an 72an 7

an

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

令t

a t7t 4

, 解之得t=1,-2 代入an 1 t (2t 5)n得 2t 52an 7

an 1a 2

,an 1 2 9n,

2an 72an 7an 1 11an 1an 1a1 11相除得,即{}是首项为 ，

an 1 23an 2an 2a1 24

an 111 n14 3n 1 2

公比为的等比数列, = 3, 解得an . n 1

34an 24 3 1方法2： ,

a 1

， an 1 1 3n

2an 7

2an 72(an 1) 9213 两边取倒数得，

an 1 13(an 1)3(an 1)3an 1

21

3bn, ,转化为类型5来求. 令bn ，则bn 3an 1

8.形如an 1 pan qan 1(其中p,q为常数)型 an 1 1 3

（1）当p+q=1时 用转化法

例1.数列{an}中，若a1 8,a2 2,且满足an 2 4an 1 3an 0,求an. 解：把an 2 4an 1 3an 0变形为an 2 an 1 3(an 1 an). 则数列 an 1 an 是以a2 a1 6为首项，3为公比的等比数列，则

an 1 an 6 3n 1 利用类型6的方法可得 an 11 3n.

（2）当p2 4q 0时 用待定系数法.

例2. 已知数列{an}满足an 2 5an 1 6an 0，且a1 1,a2 5,且满足,求an. 解：令an 2 xan 1 y(an 1 xan),即an 2 (x y)an 1 xyan 0,与已知

x y 5 x 2 x 3

,故 或 an 2 5an 1 6an 0比较，则有

xy 6y 3y 2

x 2

下面我们取其中一组 来运算，即有an 2 2an 1 3(an 1 2an),

y 3

则数列 an 1 2an 是以a2 2a1 3为首项，3为公比的等比数列，故 an 1 2an 3 3n 1 3n,即an 1 2an 3n,利用类型 的方法，可得

an 3n 2n.

评注：形如an 2 aan 1 ban的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程(x a)x b的二根为 , ,设an p n q n,再利用a1,a2的值求得p,q的值即可.

r

9. 形如an 1 pan(其中p,r为常数)型

（1）p>0，an 0 用对数法.

a

2例1. 设正项数列 an 满足a1 1，an 2anan 的通项公式. 1（n≥2）.求数列

解：两边取对数得：log2n 1 2log2n 1，log2n 1 2(log2n 1 1)，设bn log2n 1，则bn 2bn 1

aaaa

bn 是以

2为公比的等比数列，b1 lo2g 1 1

1

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

an 1n

，log2n 2n 1 1，∴an 22bn 1 2n 1 2n 1，loga2 1 2

n 1

1

练习 数列 an 中，a1 1，an 2an 1（n≥2），求数列 an 的通项公式. 答案：a n

n 22 2

2

（2）p<0时 用迭代法.

例1.（2005江西卷）

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0 1,an 1

1

2

an(4 an),n N， （1）证明an an 1 2,n N; （2）求数列{an}的通项公式an. 解：（1）略

（2）a1n 1

2a a1

n(4n) 2

[ (an 2)2 4], 所以 2(an 1 2) (an 2)2

令b12112211222

11 2 2n 1

2

n

n an 2,则bn 2bn 1 2( 2bn 2) 2 (2)bn 1

(2)bnb1n=－1，所以b2n 1n (2),即a2 b12n

1n n 2 (2

). 方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试. 解法3：设cn bn，则c12

n 2

cn 1,转化为上面类型（1）来解.

又