概率论与数理统计(第三版)课后答案习题6

概率论与数理统计(第三版)课后答案

第六章 数理统计的基本概念

1. 解（1） 因为总体分布函数为P{X k} p(1 p)

xi1 xi

P{X x} p(1 p)ii于是

k1 k

k 0,1

xi 0,1

样本(X1,X2, ,Xn)的联合分布函数为:

P{X1 x1,X2 x2, ,Xn xn} P{X1 x1} P{X2 x2} P{Xn xn} p

i 1n

xi

n

(1 p)

xi

i 1

n

xi 0,1,i 1,2, ,n

e x,x 0

f(x)

x 0 0,(2) 因为总体概率密度函数为：

e xi,xi 0

f(xi) ;i 1,2, ,n

xi 0 0,所以，每一个样本的密度函数亦为：

故样本(X1,X2, ,Xn)的联合密度函数为：

xi

ne i 1

,xi 0;i 1,2, ,nf(x1,x2, ,xn) f(x1) f(x2) f(xn)

0,xi 0 1

,0 x f(x)

其它 0,（3）同上，因为总体概率密度函数为：

所以，样本(X1,X2, ,Xn)的联合密度函数为：

n

n,0 xi

f(x1,x2, ,xn) f(xi)

其它i 1 0,

n

;i 1,2, ,n

f(x)

2．（1）

12

1

e

(x )22 2

, x

12 3

f(x1,x2,x3) X~N( ,

(2)

e

(xi )2

i 1

3

, xi ;

i 1,2,3

2

又，由于

3

)

1

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所以，X的概率密度函数为：

f(x)

2e

3(x )22 2

, x

3. 解:由所给条件，直接分为五组.取 xmin 159.5,xmax 174.5

nj174.5 159.5

3f ;j 1,2, ,5jnj53组距,计算各组相应的频数 ,频率及频

率密度

yj

fj3

;j 1,2, ,5

作图（略） 4. 略

5. 解（1） X~B(1,p) E(X) p,D(X) p(1 p) 故由第4节定理1知

E(X) E(X) p,D(X)

D(X)p(1 p)

,E(S2) D(X) p(1 p)nn

11

E(X) ,D(X) 2

（2）同理

E(X)

1

,D(X)

112

,E(S) n 2 2

（3）

E(X)

2

,D(X)

2

12

E(X)

6. 略。

2

,D(X)

2

12n

,E(S)

2

2

12

10

Xi~N(0,1)

X~N(0,0.3)i 1,2, ,103i7. 解 因为 ; 所以

2

2

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10

Y (10

iXi)2,i 1,2, ,10,

Y

~ 2(10)

记

3 i

i 1

P 10 X2

i 1.44 P 2(10) 16

由 , 查表可知2

i 1 0.10(10) 15.987

P 10 X2

i 1.44 0.10

故 i 1

X

Y1

8. 证明 因为 X~t(n), 即

2n, 其中 Y1~N(0,1),Y2~ 2(n)

2

X2

Y

1

又Y而 22n, Y22

1~ (1),Y2~ (n)

故由F-分布的定义知: X

2

~F(1,n)

9. 证明 X1,X2, ,Xn相互独立

nn

E( ) E(c1X1 c2X2 cnXn) ciE(Xi) ciai

i 1

i 1

nD( ) c2

n

iD(X2

2

i) 1

ci ii i 1

nn

~N(2故

ciai, ci 2i)

i 1

i 1

10. 解 因为Xi~N(0,1)

m

m

X

~N(0,m)

1

所以

i

i

~N(0,1)

i 1

, m

X故

i 1

1

,1)

同理

n mi n

X

i

~N(0m 1

1mn(于是 m X21i) i 1n m(i X2i)~ 2(2)

m 1

X(0, 2),

X1 X2

11. 解 (1)

i~N2~N(0,1),

Xi

~N(0,1),i 3,4,5

3

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5

(

X1 X2

)2~ 2(1),

X2

i

)~ 2(3)

于是

2 (i 3

3

(X1 X2由F-分布的定义，即得：2 2)X222~F(1,3)3 X4 X5

（2）根据（1）的分析，再由t-分布的定义即得结论。

X~N( ,

2

),

X

12. 解

n

n

~N(0,1)

P |X | 0.1

P{|X |0.10要使 0.n 0.n 2 (.1.n) 1 0.997

(

0.10.9985

0.1

即

0.n

) 查表知.n=2.97(或2.96)

解之，n=442 (或438)

13. 略

14. 解 z0.05 1.645

,

2

10.05(50)

2(z 1)2 1

0.05 2n2(1.645 9.950)2 67.221

15. 解 (2) 由上分位点定义 c t0.95(10) t0.05(10) 1.8125 16. 解（2）由上分位点定义 c F0.05(10,10) 2.98

4