ch1_5离散系统的系统函数

数字信号处理(Digital Signal Processing)信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地

离散信号与系统分析基础离散信号与系统的时域分析 离散信号的频域分析 离散系统的频域分析 双边z变换与反变换 离散系统的系统函数 全通滤波器与最小相位系统 信号的抽样与重建

离散系统z域分析离散系统函数H(z) 系统函数H(z)的表示方式及MATLAB实现 系统函数与系统稳定性

简单数字滤波器

系统函数

系统函数H(z)x[k] 系统函数 h[k] y[k]=x [k]*h[k]Y ( z) Z{h[k ]} H ( z) X ( z)

Y(z)=H(z)X(z)

an 0

N

n y[ k

n]

b x[k n]n n 0

M

Y ( z) H ( z) X ( z)

n 0 N=0, a0 0 时，系统称FIR (Finite Impulse Response);

n 0 N

M

bn z an z

n

n

N>0,{ak ;k=1,2,...,N}中至少有一项非零时，系统被称 为IIR (Infinite Impulse Response)系统。系统函数

系统函数H(z)的表示方式(1) z 1的有理函数表示

b0 b1 z 1 bM z M H ( z) 1 N a0 a1 z a N z(2) z的有理函数表示M M 1 b z b z bM ( N M ) 0 1 H ( z) z N N 1 a0 z a1 z aN

系统函数

系统函数H(z)的表示方式(3) 零点、极点和增益常数表示

H ( z ) kz

( N M )

( z z (1))( z z ( 2 )) ( z z ( M )) ( z p (1))( z p ( 2 )) ( z p ( N ))b0 k b1k z b2 k z 1 2 a0 k a1k z a2 k z系统函数

(4) 二阶因子表示

H ( z) k 1

L

1

2

系统函数几种表示形式的MATLAB实现 [z,p,k]=tf2zp(b,a) 将z的有理函数表示转换为零点、极点和增益常数表示。 [b,a]=zp2tf(z,p,k) 将零点、极点和增益常数表示转换为有理函数表示。

sos=zp2sos(z,p,k) (second-order section) 将零点、极点和增益常数表示转换为二阶因子表示。

b01 b sos 02 b0 L

b11 b12 b1L

b21 b22 b2 L

a01 a02 a0 L

a11 a12 a1L

系统函数

a21 a22 a2 L

例： 试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。 z 3 0.04z H ( z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128%Determination of the factored form and %the second order section form of a % rational z-transform b =[1 0 0.04 0]; a =[1 -0.8 0.16 -0.128]; [z,p,k]=tf2zp(b,a); disp('Zeros are at'); disp(z); disp('Poles are at'); disp(p); disp('Gain constant');disp(k); sos=zp2sos(z,p,k); disp('Second-order sections'); disp(real(sos));

例： 试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。 z 3 0.04z H ( z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128程序的运行结果为 Zeros are at 0 0 + 0.2000i 0 - 0.2000i Poles are at 0.8000 0.0000 + 0.4000i 0.0000 - 0.4000i Gain constant 1H ( z) z ( z 0.2 j)( z 0.2 j) ( z 0.8)( z 0.4 j)( z 0.4 j)

例： 试求下面系统函数的零极点形式二阶因子

形式。 z 3 0.04z H ( z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128程序的运行结果为

Second-order sections 0.2000 0 0 5.0000 0 0.2000

1.0000 -0.8000 1.0000 0.0000

0 0.1600

0.2(5 0.2 z 2 ) 1 0.04z 2 H ( z) 1 2 (1 0.8z )(1 0.16z ) (1 0.8z 1 )(1 0.16z 2 )

利用MATLAB画出z平面的零极点分布

zplane(b,a) b,a :正幂表示的H(z)分子和分母

多项式系数矩阵

系统函数

例： 已知一离散因果的LTI系统的系统函数为 z3 2z 2 z H ( z) 3 2 z 0.5 z 0.005z 0.3画出z平面的零极点分布图。 %zeros and poles of the transfer function

Imaginary part

b =[1 2 1 0]; a =[1 -0.5 -0.005 0.3]; zplane(b,a);

1 0 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real part 2

0.5

-0.5

系统函数与系统稳定性LTI系统时域稳定的充要条件：

k

h[k ]

H(z)的收敛域包含单位圆单位圆 Im(z) Re(z)单位圆 Im(z) Re(z)

ROC: |z|<R+

稳定因果系统z变换

不稳定非因果系统

系统函数与系统稳定性LTI系统稳定的充要条件：

k

h[k ]

H(z)的收敛域包含单位圆

单位圆

Im(z)Re(z)

稳定非因果系统z变换

因果系统H(z)的极点 位于z平面单位圆内时, 系统稳定

例： 已知一离散LTI系统的系统函数为1 H ( z) (1 2 z 1 )(1 3z 1 ) 判断系统的稳定性和因果性。

解：(1) |z| 3 系统不稳定、因果

h[k ] ( 2 k 1 3k 1 )u[k ](2) 2 |z| 3 系统不稳定， 非因果

h[k ] 2k 1 u[k ] 3k 1 u[ k 1](3) |z| 2 系统稳定、非因果

h[k ] 2

k 1

u[ k 1] 3

k 1

u[ k 1]

系统函数与系统的频率响应 当H(z) 的ROC包含单位圆时

H (e j ) H ( z) z e j

(z z j )H ( z) Kj 1 n

m

H ( e j ) K

j ( e zj) j 1 n

m

( z pi )i 1

(ei 1

j

pi )

系统函数