一元二次方程求根公式的推导

初中数学

2003年5月下　　　　　　　　　　　　　　中学生数学　　　　7

一元二次方程求根公式的推导

河北省乐亭二中(063600)　赵育红

　　初三代数课本中介绍了一种一元二次方程求根公式的推导方法,笔者想在这里给同学们介绍另外几种方法.

一、印度方法此法起始于印度,通常认为是斯利德哈拉(Sridhara,印度人,生卒年不详)在公元1025年之前作出的.具体做法是:

解　对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),移项,得

ax+bx=-c,

2

将此结果代入换元后的式子,得

x=y-2a

2=-2a2a

2=.

2a

此种解法还适用于解3次、4次方程.

三、哈里奥特方法

《实,x1x2是二次方程

ax+bx+c=0(a≠0)

2

两边同乘以4a,然后再加上b,得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac,左端化为完全平方式,得

(2ax当b-,2axb±b2-4ac,

2

2

①②③

的两个根,从而(x-x1)(x-x2)=0.

即　x2-(x1+x2)x+x1x2=0

将①式除以a,得

x+

2

所以得

x=

.

2a

2

x+=0aa

印度方法十分简捷,别致.表现在推导过

程中,最后一步才出现分式.

二、韦达方法

对于方程ax2+bx+c=0(a≠0),易见当方程缺少x的一次项时是易求解的.

为此作代换　x=y-,2a

由于②和③是同一方程,所以相应的系数必须相等,于是得

x1+x2=-x1 x2=

a

④

.a

再由恒等式

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,22a

解由④、⑤组成的方程组,得

x1-x2=x1=x2=

将原方程变形成

a(y-2)+b(y-)+c=0,

2a2a

⑤

化简得

2ay+=0,

4a

2

,

2a

.　□

2a

(责审　陆剑鸣)

2

2

当b-4ac≥0时,此方程的根为

y=

2

2.

2a

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