概率论第1章3,4节

1.3 频率与概率历史上概率的三次定义

① 古典定义

概率的最初定义

② 统计定义③ 公理化定义

基于频率的定义

1930年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

一、频率的定义频率 : 设在 n 次重复试验中 ,事件 A 出现了 nA 次 ,则称 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频数 ,比值nA n 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率 , 记为 f n A ,f n A nA nf n ( A) 1

即

.

频率的性质

1)非负性 即对任一随机事件A,有 0 2)规范性 即若S是必然事件，则 3)有限可加性 即若 事件， 则A1 , A2 , , Akk k

fn ( S ) 1

是两两互不相容的

f n ( Ai ) f n ( Ai )i 1 i 1

抛掷钱币试验记录试验者 De Morgan Bufen Pearson

“正面向上”次 抛币次数n 数2084 4040 12000 1061 2048 6019

频率 f n ( A) 0.518 0.5069 0.5016

Pearson

24000

12012

0.5005

从上表中可以看出 ,出现 正面向上 的频率 f n A 总的趋势是随着试验次 数的增加而逐渐稳定在 0.5 这个数值上 .

可见, 在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具 有稳定性.即通常所说的统计规律性.定义 在不变的一组条件下进行大量的重复试验 ,随机事件 A 出现的频率

会稳定地在某个固定的

n 的数值 p 的附近摆动, 我们称这个稳定值 p 为随机

事件 A 的概率 ,即 P A p .

概率的统计定义 .

概率的 公理化定义概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫 设 S 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋予一个 哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立. 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理： 非负性： A , P( A) 0

归一性： P( S ) 1 P Ai 可列可加性： i 1

P ( Ai )i 1

其中 A1 , A2 , 为两两互斥事件，

概率的性质 1) P 0证明：令

Ai , n 1,2, , P An P An n 1 n 1

则

P P , P 0n 1

2) 有限可加性: 若

两两互不相容，即

则

证明：令

n P Ai P Ai i 1 i 1n

An 1 An 2

n P Ai P Ai P A1 P An P P i 1 i 1 P A1 P An

3)若证明：

,则 P B A P B P A 且

4)对任何事件A有 证明： A S , P A P S 1 5)对任何事件A有 证明： A S A, P A P S A P S P A

1 P A

6)对任意两事件A 与 B ,有

证明：

A B A B AB , A B AB

P A B P A P B AB P A P B P AB

推广到n个事件：

例1:若A与B同时发生时事件C必发生，则

证：

AB C

结论成立

例2:设 在下列三种情形下，求P A B 1).A,B互不相容；2).A,B有包含关系；

S

A

A B

3).

P AB

1 8

解：

1.4 等可能概型一、概率的古典定义这个随机试验满足以下两个特点： 1)有限性：试验E的样本空间中只有有限个 样本点 2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相 同,即 这种试验是概率论早期研究的对象。称为古典概 型。

古典概型的计算公式：设S 1 , e2 , , en P 1 P 2 P n e , e e e n 1 P S P i e i 1 P 1 e 1 n

所以有

P e nP e i 1 i 1

n

于是P j e

1 n

, j 1,2, , n

若

A S ,含k个基本事件

A ei

e 1

ik

P ( A) P ({ei }) P ({ei }) 1 k

k n

A包含的基本事件数 S中基本事件的总数

注：计算事件A的概率，关键在于弄清楚什么是样本点， 样本空间中包含样本点的总数以及A所包含的样本点数。

排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m

i 1

i

种不同的方法

乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m

i 1

i

种不同的方法

排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地)按一定的次序排成一排不同的 排法共有An n(n 1)(n 2) (n m 1)m

全排列

An n!n

可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地取出 m 个排成一排, 不同的排法有 种nm

组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放回地)组成一组， 不同的分法共有Cn m

n! m!( n m)!

多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组(组编号), 各组分别有 k1 , k2 , , km 个元 k 素， 1 k2 km n ,不同的分法共有Cn Cn k Ck1

k1

k2

knn

种

三、举 例例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个拨盘有十个数字，给定一个6位数字暗码，只有拨对号码时，才 能将锁打开。 问：“一次就能打开”的概率是多少？ 解：样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数