非齐次线性方程组有非零解的条件及结构

非齐次线性方程组有非零解的条件及结构

第四章向量与线性方程组

§4.6

非齐次方程组有解的条件及解的结构

2010年秋季四川大学邓传现

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非齐次线性方程组与导出组定义与非齐次线性方程组相同的齐次线性方程组的系数矩阵相称为

的导出组，或对应的齐次线性方程组.非齐次线性方程组

导出组

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非齐次线性方程组的解与其导出组解之间的关系①若则②若③若是也是是是的一个解,是的一个解,

的解；的解，则的一个解，则，其中是的解；的任意解都是导出组

可以表示为的一个解.证明

①,②显然，下面证明③.令，由②知是的解.于是

即结论③成立.32010年秋季四川大学邓传现

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非齐次线性方程组有解的条件及解的结构定理设①②③其通解为矩阵为有解时，时，有唯一解；有无穷多解，是线性方程组的系数矩阵，

的增广矩阵，则

其中

是

的一个解，称为特解；为导出组的一个基

础解系，4

为任意常数.2010年秋季四川大学邓传现

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证明设矩阵

的列向量组分别为

则非齐次线性方程组的向量形式为①必要性若有解，则可由向量组与等价,即

线性表出示,故向量组充分性设其中即向量组5

为

的极大无关组，则

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线性相关 (因能由能由②当则是线性表示 (因线性表示时，由①知仅有零解.设这表明方程组③设为是的解，故为

线性无关)

的极大无关组)有解.有解，且的任意两解，或者有的解但唯一.的任意

的一个给定解，为是导出组6

解，则

的解，故它可由基2010年秋季四川大学邓传现

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础解系使得

线性表示，即存在数，即有

反之，对任意常数总是综上知，是非齐次线性方程组中为任意常数.7

,容易证明形为

的解.

的全部解或通解，其

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非齐次线性方程组的求解法以上定理完美地回答了开章提出的三个问题！显然，只要知道了的一个特解及其导出组

的基础解系，则其通解也就知道了，为

其中而导出组于是，

为任意常数.的基础解系的求法第五节已经解决！的求解问题就剩下如何求的一

个特解！一般来说，解决方法如下：只需在中令所有的自由未知变量为零，即得它的一个特解！不过，具体情况要求可以有所不同！82010年秋季四川大学邓传现

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例题求

的通解.

解答写出增广矩阵并对之作初等行变换化简，得

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显然因

,故原方程组有无穷解.

在

中令自由未知变量

得

的

一个特解为

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在

中令

得导出组的一个基础解系为

于

是原方程组

的通解为112010年秋季四川大学邓传现

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其中

为任意常数.

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例题写出如下方程组有解的充要条件，并求解.

解答写出增广矩阵并对之作初等行变换化简，得

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显然可见原方程组有解所以，当

,所以

时，原方程组有解，此时通解为

其中，k为任意常数.142010年秋季四川大学邓传现

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例 k为何值时，线性方程组

有唯

一解，无解，有无穷多组解？若有解时，求出其解.解设线性方程组的系数矩阵为，则

当

时，即

时，线性方程组有唯一

解，由Cramer法则求之得其解为

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当

时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为

阶梯型矩阵为

由于当

所以方程组无解；时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为

阶梯型矩阵为

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