北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》数学归纳法(1)

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北师大版高中数学选修2-2第 北师大版高中数学选修 第 一章《推理与证明》 一章《推理与证明》 §4 数学归纳法

数学归纳法(1) 数学归纳法(1)1

法门高中姚连省制作

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数学归纳法(1) 数学归纳法(1)

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一、教学目标：1、使学生了解归纳法 理解数学归纳的原理 教学目标： 、使学生了解归纳法, 与实质。 、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“ 与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学 归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。 、 归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观 分析, 论证的能力, 察, 分析 论证的能力 进一步发展学生的抽象思维能力和创 新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。 新能力，让学生经历知识的构建过程 体会类比的数学思想。 4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质 、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、 疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、 疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题 的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明 先猜想后证明), 的探究，体会研究数学问题的一种方法 先猜想后证明 激 发学生的学习热情， 发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精 神。 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。 教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。 教学方法：探析归纳， 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程3

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完全归纳 法 1:大球中有 个小球， 大球中有5 问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ 绿色的？ an ( n = 1, 2, ...) 问题 2: 对于数列{an } ,已知a1 = 1,an+1 =1 + an

问题情境一

1 a1 = 1 1 a2 = 2 1 a3 = 3

猜 想其 通 项公 式

1 an = n

不完全归 纳法

问题3:某人看到树上乌鸦是黑的， 问题 ：某人看到树上乌鸦是黑的， 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。

…

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问题情境二费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 曾经提出一个猜想： 费马2n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 形如F 形如 n=2 的数都是质数

n = 0, Fn = 3 n = 1, Fn = 5 n = 2, Fn = 17 n = 3, Fn = 257 n = 4, Fn = 65537 KK

……100年后… 100年后 100年后n=5 Fn = 4, 294, 967, 297 = 6, 700, 417 × 6415

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:由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法考察全体对象, 考察全体对象, 全体对

象 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 考察部分对象, 部分对象 到一般结论的推 理方法

归纳法

结论一定可靠

结论不 结论不一定可靠6

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问题情境三如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才 能做到？ 能做到？ (1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块 处理第一个问题；(相当于推倒第一块 ；( 骨牌) 骨牌) (2)验证前一问题与后一问题有递推关系； )验证前一问题与后一问题有递推关系； 相当于前牌推倒后牌) (相当于前牌推倒后牌)7

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1 思考:问题 问题2中证明数列的通项公式 思考 问题 中证明数列的通项公式 an = 这个猜想 n由条件知,n=1时猜想成立 时猜想成立. 由条件知 时猜想成立 如果n=k时猜想成立 即 a = 1 ,那么当 时猜想成立,即 那么当n=k+1时猜 如果 时猜想成立 那么当 时猜 k k 1 想也成立,即 想也成立 即 a k +1 =k +1

与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗 你能类比多米诺骨 牌游戏解决这个问题吗? 牌游戏解决这个问题吗

事实上, 事实上

a k +1 =

ak 1 = = 1 + ak 1 + 1 k + 1 k8

1 k

时猜想也成立. 即n=k+1时猜想也成立 时猜想也成立

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数学归纳法对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关 自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性： 们的正确性：

(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 证明当n取第一个值n 例如n 成立; 成立; 【归纳奠基】 归纳奠基】 (2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 假设当n=k(k∈N 证明当n=k+1时命题也成立. 归纳递推】 证明当n=k+1时命题也成立【归纳递推】 n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做 数学归纳法 这种证明方法叫做9

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框图表示验证n = n0时 命题成立若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立 证明n = k + 1时命题也成立

归纳奠基：归纳递推 1444 24444 4 3

命题对从n0开始所有 的正整数n都成立10

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例1.用数学归纳法证明 1 2 + 2 2 + 3 2 + K + n 2 = 用数学归纳法证明证 ： 明 (1)当 n=1时 左 =12 = 1 , 边 1 +1 (1 )(2 +1 ) 右 = 边 ， 式 立 =1 等 成 6 ) 设 n 成 ， (2 假 当 = k时 立 即

n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) 6

12 + 22 + 32 +K+ k 2 = 那 当 = k +1 么 n 时

k(k +1 k +1 )(2 ) 62

左 = 12 + 22 + 32 +K+ k 2 + ( k +1) 边 =

k(k +1 k +1 )(2 ) + (k +1 2 ) 6 k(k +1 k +1 + 6(k +1 2 )(2 ) ) = 6 (k +1 k + 2)(2k + 3) )( (k +1 k +1 +1 ( +1 +1 )[( ) ][2 k ) ] = = 6 6 11 即当n = k + 1时等式也成立

由(1)和(2)可知等式对任何n ∈ N *都成立

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课堂练习： 课堂练习： 1.用数学归纳法证明等式 用数学归纳

法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 时 1+2+3 ; 当n=1时，左边所得项是 = 时 1+2+3+4+5 ; 当n=2时，左边所得项是 = 时2 . 用 数 学 归 纳 法 证 明 (n ∈ N , a ≠ 1 ) 1 a n+2 2 n +1 1+ a + a +L a ,在 验 证 = 1 a n = 1成 立 时 ， 左 边 是 ( C )A、1 、 B、1+a 、 C、1+a+a2 、2+a3 12 D、1+a+a 、

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用数学归纳法证明： 例2.用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 用数学归纳法证明 如果{a 是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 +(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 对于一切n∈N*都成立证明: n=1 左边=a 右边=a 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +(1-1)d=a1, n=1 ∴ 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立 假设当n=k时结论成立， +(k(2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d n=k+1 = a1+(k-1)d+d +(k+[(k+1)= a1+[(k+1)-1]d n=k+1时 结论也成立。 ∴当n=k+1时，结论也成立。 (1)和(2)知 等式对于任何n∈N 都成立。 (2)知 由(1)和凑假设,等式对于任何n∈N*都成立。从n=k到 n=k到 n=k+1有什么 n=k+1有什么 变化

结论13

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比数列， 练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q 提示： (提示：a n = qa n-1)用数学归纳法进行证明时, 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. (1)(归纳奠基 是递推的基础. 归纳奠基) 找准n 找准n0 (2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n= k时 命题成立.作为必用的条件运用， 命题成立.作为必用的条件运用，而n=k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明14

n-1

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例3 用数学归纳法证明 1+ 3 + 5L+ (2n 1) = n2.

【分析】(1) 第一步应做什么 本题的n0应取多少 分析】 第一步应做什么?本题的 应取多少?

n0=1, 1= 12(2)在证传递性时，假设什么？求证什么? )在证传递性时，假设什么？求证什么 假设1+3+5+…..+(2k-1)=k 2 ( 假设 ) 求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) 十 十 求证 十 (3)怎样将假设1+3+5+…..+(2k-1)=k )怎样将假设 ( )2

2 215

推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) 十 十 推理变形为 十

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用数学归纳法证明1+3+5+ 1+3+5+……+(2n-1)=n2 (n∈N ) +(2n例3、用数学归纳法证明1+3+5+ +(2n 证明： n=1时 左边=1 右边=1 等式成立。 =1, =1, 证明：①当n=1时，左边=1,右边=1,等式成立。 假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立 时等式成立, ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2, +(2k1+3+5+ +(2k n=k+1时 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2, +(2k1+3+5+ +(2k 1)+

[2(k+1)所以当n=k+1时等式也成立。 n=k+1时等式也成立 所以当n=k+1时等式也成立。 可知， 原等式都成立。 由①和②可知，对n∈N ,原等式都成立。请问： 请问： 步中“ n=k+1时 的证明可否改换为： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = (k +1)[1+ (2k +1)] 2 = (k+1)2 ?为什么？ 为什么？16