复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性方程组课件复习资料

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线性方程组

倪卫明

第五讲线性方程组

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行列式1

线性方程组解的一般理论.1 2

非齐次线性方程组的解.齐次线性方程组的解.线性组合.向量组的等价.线性相关与线性无关.极大线性无关组.向量组的秩.非齐次线性方程组的解结构.齐次线性方程组的解结构.

2

向量组的线性关系.1 2 3 4 5

3

线性方程组的解结构1 2

倪卫明

第五讲线性方程组

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线性方程组线性方程组:n

aij xj= bi,j=1

(i= 1, 2, . . ., m)

(1)

写成矩阵形式:Ax= b

(2)

其中a11 a 21 A= . . . am1

a12 a22

. . .

am2

a1n a2n , . . . ··· amn

······

x1 x2 x= . , . . xn

b1 b2 b= . . . bm

倪卫明

第五讲线性方程组

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线性方程组解与增广矩阵关系线性方程组解的情况完全取决于系数矩阵 A和向量 b,即增广矩阵 A= A b,且线性方程组与它的增广矩阵一一对应.解线性方程组的消元法等价于对增广矩阵实施行初等变换.线性方程组 Ax= b中,若 b= 0则称 Ax= b为非齐次线性方程;若非齐次线性方程组有解,则称方程组相容,否则称为不相容.当方程组相容时,它可能有唯一解,也可能有无穷多解.若 b= 0,称 Ax= 0为齐次线性方程组;齐次线性方程组总有解,因零向量就是方程组的一个解,常称这个解为齐次方程组的平凡解.因此,一般更关注齐次线性方程组是否存在非零解,以及它的解结构.

倪卫明

第五讲线性方程组

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线性方程组的解理论非齐次线性方程Ax= b,

(3)

其中, A∈ Rm×n, b∈ Rm, x∈ Rn . (相容)定理非齐次线性方程组(3)相容的充要条件:rA= rank (A)= rank A b= rA

倪卫明

第五讲线性方程组

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线性方程组的解理论1 2

当 rank (A)= rank1 2

A

b A

,方程组(3)不相容,无解.b

当 r= rank (A)= rank

,方程组(3)相容.

若 r= n,则方程组(3)有唯一解.若 r< n,则方程组(3)有无穷多解.

对于齐次线性方程组:Ax= 0, A∈ Rm×n

(4)

定理齐次方程组(4)只有零解的充要条件 rank (A)= n;齐次相称组(4)存在非零解的充要条件 rank (A)< n.

倪卫明

第五讲线性方程组

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线性方程组为了研究线性方程组解的结构,先讨论 n元向量直接的关系.设 a1, . . ., as, b∈ Rn为 s+ 1个向量,可以将这些向量视作 n× 1或 1× n矩阵,先给出一些定义:线性组合:若存在一组数 k1, k2, . . ., ks,使得s

b=i=1

ki ai

(5)

则称向量 b是向量组 a1, a2, . . ., as的线性组合,或称 b可由向量组 a1, a2, . . ., as线性表示.由定义知,判断一个向量 b是否可由向量组 a1, a2, . . ., as线性表示?等价于判断方程组Ax= b

是否相容?其中 A=

a1

a2倪卫

明

··· as .第五讲线性方程组

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线性方程组向量组等价:设 a1, a2, . . ., as和 b1, b2, . . ., bt为两组向量,若任意一个向量 ai (i= 1, 2, . . ., s)均可由向量组 b1, b2, . . ., bt线性表示,则称,向量组 a1, a2, . . ., as可由向量组 b1, b2, . . ., bt线性表示.反之,若两个向量组可相互线性表示,则称这两个向量组等价.线性相关,线性无关:对于向量组 a1, a2, . . ., as (s≥ 1),存在不全为零的一组数 k1, k2, . . ., ks,使得 k1 a1+ k2 a2+···+ ks as= 0成立,则称向量组 a1, a2, . . ., as线性相关.若当且仅当 k1= k2=···= ks= 0时,上述等式才成立,则称向量组 a1, a2, . . ., as线性无关或线性独立.

倪卫明

第五讲线性方程组

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线性方程组向量组线性相关、线性无关性质:设 a1, a2, . . ., as (s≥ 2)为一 n元向量组,1

若向量组 a1, a2, . . ., as中包含零向量,则 a1, a2, . . ., as必线性相关.若 a1, a2, . . ., as线性无关,则它的任意部分向量必线性无关.若向量组 a1, a2, . . ., as线性相关,则任意包含了这组向量的向量组必线性相关.向量组 a1, a2, . . ., as线性相关 a1, a2, . . ., as中至少存在一个向量能表示成其它向量的线性组合.向量组 a1, a2, . . ., as线性无关,但 s+ 1个向量 a1, a2, . . ., as, a线性相关,则 a必可由 a1, a2, . . ., as线性表示,而且这种表示唯一.设向量组 a1, a2, . . ., as中任一向量可经向量组 b1, b2, . . ., bt线性表示,若 s> t,则向量组 a1, a2, . . ., as必线性相关.倪卫明第五讲线性方程组

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线性方程组极大线性无关组与向量组的秩

定义设向量组 a1, a2, . . ., as中的一部分向量组 ai1, ai2, . . ., air,若它满足条件: (1)线性无关. (2)再加入原向量组中任意其他一个向量(若有的话)所形成的新的部分向量组都线性相关.则称向量组 ai1, ai2, . . ., air为向量组 a1, a2, . . ., as的极大线性无关组.称极大线性无关组中向量个数为原向量组的秩.性质: 1一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价,且所含向量的个数相等. 2矩阵的秩等于矩阵的列向量构成的向量组的秩,也等于矩阵的行向量构成的向量组的秩.倪卫明第五讲线性方程组

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线性方程组解的结构齐次线性方程组Ax= 0

(6)

其中 A为 m× n矩阵.定理设 x1, x2, . . ., xk为齐次线性方程组(6)的解,则它的任意线性组合均是方程组(6)的解.设集合 S= x|Ax= 0包含方程组(6)的所有解向量,则 S的任一极大线性无关组称为齐次线性方程组(6)的基础解系.定理当齐次线性方程组(6)有非零解时,一定有基础解系,且基础解系的秩等于 n rank (A).

倪卫明

第五

讲线性方程组

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线性方程组解的结构非齐次线性方程组Ax= b

(7)

其中 A为 m× n矩阵,其对应的齐次线性方程组为式(6).定理设 x 为非齐次线性方程组(7)的一个特定的解(称为特解), y为其相应齐次线性方程组的解,则(7)的通解可表示为x= x + y

(8)

倪卫明

第五讲线性方程组