4静电场习题课hipeak

一、一个实验定律：库仑定律

F 12

二、两个物理概念：场强、电势；

q1q2 e 12 2 4 0 r12

三、两个基本定理：高斯定理、环流定理

E dl 0L

1 E dS qi ( qi 所有电荷代数和) 0

有源场

(与

V A VB E dl 等价)B A

(保守场)

四、电场强度的计算1. 点电荷的电场的计算

E

2. 点电荷系的电场的计算

q r 2 0 4 0 r 1

设真空中有n个点电荷q1,q2,…qn,则P点场强

1 qi E Ei r 2 i0 i i 4 r 0 i典型例子：电偶极子延长线上

1 2p EA 3 4 0 r

中垂线上

1 p EB 4 0 r 3

3. 连续带电体的电场的计算(积分法)

思 路

dE

dq r 2 0 4 0 r

1 dq E dE 2 r0 4 0 r

E x dEx ; E y dE y ; Ez dEz

E E x i E y j Ez k电荷元 表达式

线电荷 面电荷

体电荷

d q d l dq dS dq dV

有用的结论：(1)一均匀带电直线在任一点的电场

Ex (sin 2 sin 1 ) E y (cos 1 cos 2 ) 4 0a 4 0 a特例：无限长均匀带电直线的场强

E 2 0 a

(2)一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场

E

xq 4 0 ( x a )2 2 3 2

i E 2 0

(3)无限大均匀带电平面的场强

五、高斯定理可能应用的情况：

1、球面对称：E q 4 0 r2

E

qS内

i 2

4 0 r

2、圆柱面对称

E 2 r0

( 0)

3、平面对称： E 2 0

( 0 )

已学过的几种电场 1.偶极子 2.点电荷 3.线电荷 4.面电荷1 E 3 r

1 p EB 3 4 0 r E q r 2 0 4 0 r 1

1 E 2 r1 E 1 r

E 2 0 a

1 E 0 r

E 2 0

叠加法

Ei

dE1

场强的计算

高斯定理法

E dS S

0

q

i

梯度法

E U

六、电势 1.WA 定义: U A q E d l 0 A

2. 静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系： b Wab qE dl q(U a U b ) qU ab (Wb Wa )a

3. 电势叠加原理(1)点电荷的电势分布: U P q 4 0 ri

(2)点电荷系的电势分布: U U i

4 0 ri

qi

1 dq (3)连续带电体的电势分布: U dU 4 0 r V V

七、求解 E和U的方法比较：

求 E

1、 根据对称性应用高斯定理

求U 1 qi r 2 i0 ri

2、应用矢量叠加原理不连续分布： 连续分布：

E i

4 0

E

3、 先求 U,再求 E E gradU 。 U U U gradU x i y j z k

4 0 r2 带电体

dq

r

0

应用标量叠加原理 qi uP i 4 0 ri dq U 4 0 r 带电体

先求 E 再求 U 。 U A E dlA

(静电场 一)

3.静电场中某点的电场强度，其大小和方向与 单位正试验电荷置于该点时所受到的电场力 ___________________________________相同. 4.电荷为-5×10-9 C的试验电荷放在电场中某点 时，受到 20×10-9 N的向下的力，则该点的电 场强度大小为_______________,方向 4 N/C ____________. 向上

5. 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总 电荷为q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P 点的电场强度. 解：设杆的左端为坐标原点O,x轴沿 直杆方向.带电直杆的电荷线密度为 =q / L,在x处取一电荷元dq = dx = qdx / L,它在P点的场强：qd x dq dE 2 2 4 π 0 L d x 4 π 0 L L d x q dx q 总场强为 ： E ( L d-x)2 4 0 d L d 4 0 L 0Lx O L d dq (L+d-x)

P

dE x

方向沿x轴，即杆的延长线方向.

例3:有一半径为r 绝缘细环如图，上半段均 匀带+q,下半段均匀带-q, 求：细环中心处的电场强度和电势。 y + + + + + + + + + + d O O x

-

- -

dE-

dE+

-

- -

dE+

x

思路：

1、上半段电荷在O点的E+y:dE y

rd dE 4 0 r 2

rd cos 2 4 0 r

E y

r cos d 2 4 0 r 4 0 r 02

y + + d O

O点：E 2 E y 2 0 r 方向：y轴反向。q 将 1 代入 4 2 r

由对称性知 Ex=0

+

+ +

-

E

- q

dE+

x

2 0 r 2

2、O点处电势 根据电势叠加原理:U U dq 4 0 r dq 4 0 r上半段

+ +

+

+ +O

q 4 0 r q 4 0 r

-

x

- -

下半段

UO U U 0

讨论

若电荷非均匀分布，则O点 的电势为多少？

1. 有两个电荷都是+q的点电荷，相距为2a.今以左边 的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯 面 . 在球面上取两块相等的小面积S1和S2,其位置如 图所示. 设通过S1和S2的电场强度通量分别为F1和F2, 通过整个球面的电场强度通量为FS,则(A) F1>F2,FS=q / 0. (B) F1<F2,FS=2q / 0. (C) F1=F2,FS=q / 0. (D) F1<F2,FS=q / 0S2 q O S1 q 2a x

(静电场二)

2.图示为一具有球对称性分布的静电场的E~r关系曲 线.请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的.(A) 半径为R的均匀带电球面.

(B) 半径为R的均匀带电球体.(C) 半径为R的、电荷体密度为 =Ar (A为常数)的 (. 非均匀带电球体. (D) 半径为R的、电荷体密度为 =A/r (A为常数)的 非均匀带电球体.E E ∝1/r2

O

R

r

3.图示两块“无限大”均匀带电平行平板，电荷

面密 度分别为+ 和- ,两板间是真空.在两板间取一立 方体形的高斯面，设每一面面积都是S,立方体形的两 个面M、N与平板平行.则通过M面的电场强度通量F1 = S) / -(____________,通过N面的电场强度通量F2= ( S) / 0 ________________.0

e E dSS

+ M N

-

n 对于闭合曲面， 取外法向为正

4.半径为R的半球面置于场强为的均匀电场中， 其对称轴与场强方向一致，如图所示.则通过 该半球面的电场强度通量为 R2E __________________.R

E

作业中出现的答案：

R E2

R 2 E

例5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为

=Ar (r≤R) , =0 (r>R) ,A为一常量.试求：球体内外的场强分布. 解：在球内取半径为r (r≤R) 、厚为dr的 薄球壳，该壳内所包含的电荷为

d

d q dV Ar 4 r 2 d r在半径为 r 的球面内包含电荷为

q

R

q

dV

V

r

Ar 4 r 2 d r Ar 4

r高斯面(本题选自静电场练习二)

0

以该球面为高斯面，按高斯定理有

F E1 4 r A r / 02 4

易错点：4 3 1、q V Ar . r 3

2、q dVdq 3、dE 2 4 0 r

搞清各种方法的 基本解题步骤

4、q dV Ar 4 r 2 dr