结构力学第五版 李廉锟版 10矩阵位移法

第十章§10-1 §10-2 §10-3 §10-4

矩阵位移法概述 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的坐标转换 结构的原始刚度矩阵

结构力学

§10-5 支承条件的引入 §10-6 非结点荷载的处理 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 §10-8 几点补充说明

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§10-1 概述一、手算与电算比较：手算：小型、简单问题，讲究技巧。

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超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。

电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 通用性。 结构力学中的电算方法 —结构矩阵分析方法 (杆件有限元法) 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、 以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手 段大规模的计算方法。

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§10-1 概述二、结构矩阵分析方法特点与分类：

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(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法)——采用结点位移作为基 本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种 杆系结构受力、变形等计算的方法。

对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ；计算手段：计算机

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§10-1 概述三、矩阵位移法的思路 ：

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1)离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端 位移的关系。 2)集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移 的关系。 任务 意义单元 分析 建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程

整体分析

由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整

用矩阵形式表示位移法基本方程

体刚度矩阵

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§10-1 概述四、基本概念1. 结点和单元

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单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面 直杆。 梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单 元(梁、刚架)。 轴力单元——只受轴力作用的单元(桁架)。 单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单 元也就全部确定了。 构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突 变点。 非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的 结点。

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§10-1 概述2. 坐标系

结构力学

结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量—— 结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。单元局部坐标系固定在单元上， 轴与杆轴重

合,自 x x 轴逆时针旋转900时的方向为 y 轴正向。用于描述单元的杆 端力和杆端位移等。2 32

3

1

4

1

4

2

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§10-1 概述离散化将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 坐标系:整体(结构)坐标系;局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆

结构力学

(16,17,18) 5 (13,14,15) 6

6

2 1

3

54 (10,11,12)

3 (7,8,9)

4Y X

1 (1,2,3)

2 (4,5,6)

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§10-1 概述3. 杆端位移和杆端力

结构力学

不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结 点都有3个独立的位移(2个独立线位移、1个角位 移),每一个铰结点则有2个独立线位移。

平面刚架单元的杆力列向量为{F e } FNi FSi Mi FNj FSj

Mj

T

(10-1)

平面刚架单元的杆端位移列向量为{δe } (ui vi i u j v j j )T

(10-2)

注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有 几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。

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§10-1 概述

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平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此 对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应， 但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有FN 1 1 e 2 FN 2

{F e } FNi

杆端力向量0 FNj

0 (10-3)T

u11

e2

u2 v2

杆端位移向量{δe } ui vi uj v j (10-4)T

v1

其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对 应的关系。

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§10-1 概述4. 结点力和结点位移

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作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方 向分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。 与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵 位移法的基本未知量。 注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。

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§10-1 概述5. 正负号规定(强调)杆端位移和杆端力的正负号：

结构力学

凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，

反之为负值。力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。 作用在结点上的外力和结点位移的正负号：

与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正， 反之为负。以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为 负值。

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§10-1 概述重点：矩阵位移法基本思想 化整为零 ------ 结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作单元。 单元的连接点称作结点。5

结构力学66

23

3

54

11

42

对单元和结点编码. 基本未知量:结点位移单元杆端力

----- 单元分析

单元杆端位移------ 整体分析e

集零为整结点外力

单元杆端力 结点外力 单元杆端位移

(杆端位移=结点位移) 结点外力 结点位移

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§10-2 单元刚度矩阵

结构力学

1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系截面直杆单元e , 其杆端位移列向量与杆端力列 向量分别为 T {δ e } uie vie i e u je v je je e e e e {F e } Fxi Fyi M ie Fxj Fyj

Me j

T

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§10-2 单元刚度矩阵在线性小位移范 围内，忽略轴向受力 状态与弯曲向受力状 态之间的影响。

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u 当杆端轴向位移为 u ie 、 je 时， ij u je uie ,由胡克 Δl 定律得杆件轴向变形的刚度方程为EA e EA e EA e e F (u j ui ) ui u j l l l EA e EA e EA e e Fxj (u j uie ) ui u j l l l e xi

(a)

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§10-2 单元刚度矩阵杆端横向位移△ij正负 号规定:使杆的j 端绕 i 端 作顺时针转时为正值。

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Δij (v je vie )由两端固定等截面 直杆的转角位移方程有6 EI e 4 EI e 6 EI e 2 EI e M 4i i 2i 6i 2 vi i 2 v j j l l l l l e e (v j vi ) 6 EI e 2 EI e 6 EI e 4 EI e e e e M j 2i i 4i j 6i 2 vi i 2 v j j l l l l l e 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI F yi 3 vie 2 i e 3 v je 2 je l l l l e 12 EI e 6 EI e 12 EI e 6 EI e F yj 3 vi 2 i 3 v j 2 j (b) l l l l e i e e j

(v je vie )

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§10-2 单元刚度矩阵 Fxie Fe yi M e i Fe xj Fe yj M e j

结构力学EA l 0 0 EA l 0 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l u ie ve i e i u je v je e j

将上述(a)和(b)两式合在一起，写成矩阵形式，有 EA 0 l 12 EI 0 l3 6 EI 0 l2 EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l 0 0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l

=

——单元在局部坐标系中的单元刚度方程。 它可记为

{F e } [K e ]{δ e }退出 返回

(10-6a)

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§10-2 单元刚度矩阵其中ui 1vi 1 i 10 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l

结构力学u j 1 v j

1 j 1 EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI 2 l3 l 6 EI 4 EI 2 l l 6 6 0 0

EA l 0 0 e [K ] EA l 0 0

(10-7)

[ K e ]称为局部坐标系中的单元刚度矩阵(简称单刚)。

[ K e ] 的行数等于杆端力向量的分量数, 列数等于杆端位移向量的分量数，

[ K e ] 的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。

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§10-2 单元刚度矩阵ui 1 EA l 0 0 e [K ] EA l 0 0

结构力学u j 1 v j 1 j 1 EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI 2 l3 l 6 EI 4 EI 2 l l 6 6 0 0

vi 1 i 10 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l

e 任一元素 kij 表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i 号 位移方向的反力。

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§10-2 单元刚度矩阵ui 1 EA l 0 0 e [K ] EA l 0 0

结构力学u j 1 v j 1 j 1 EA l 0 0 EA l 0 0 12 EI 6 EI 3 l l2 6 EI 2 EI 2 l l 0 0 12 EI 6 EI 2 l3 l 6 EI 4 EI 2 l l 6 6 0 0

vi 1 i 10 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l

单刚阵 [K e ] 中某一列的六个元素表示当某个秆端位移 分量等于1时所引起的六个杆端力分量。 生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。

u ie 1 (即端点i沿 x 正方向发 第1列的六个元素就是当退出 返回

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§10-2 单元刚度矩阵单元杆端位移示意

结构力学

从单刚元素的物理意义出发得到单刚阵

6 2

3 4

5

1

图示量均是正的 中南大学退出 返回

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§10-2 单元刚度矩阵单元杆端力示意

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F1

F2

F5F4

F3

F6

图示量均是正的

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