变化率问题与导数的概念

变化率问题与导数的概念

变化率问题 与导数的概念

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数 学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)=3

3V 4

当空气容量V从0增加1L时，半径增加了 r(1)-r(0)= 0.62

r (1) r (0) 气球平均膨胀率： 0.62 1 0

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.当空气容量V从1加2L时，半径增加了 r(2)-r(1)= 0.16

r (2) r (1) 气球平均膨胀率： 0.16 2 1可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小.

思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气 球的平均膨胀率是多少呢?

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,2

求1s到2s时的平均速度.

3 解： S2-S1= g=14.7 2t2-t1= 1

S (2) S (1) V = 14.7 2 1

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度. V =

S (t2 ) S (t1 ) t2 t1

变化率问题与导数的概念

平均变化率如果上述的两个函数关系用f(x)表示 那么当自变量x从x1变化到x2时， 函数值就从y1变化到y2 则函数f(x)从x1到x2的

平均变化率：

f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1

它的几何意义是什么呢？

变化率问题与导数的概念

问题3:瞬时速度物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,2

如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？

能否用求平均速度的方法求某一时刻 的瞬时速度？(我们可以取t=3临近时间间隔内的 平均速度当作t=3时刻的平均速度， 不过时间隔要很小很小)

变化率问题与导数的概念

问题3:瞬时速度物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,2

如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？

解：取一小段时间：[3,3+△t] 1 9 2- △S= g(3+△t) g 2 2△S V = △t

g 2

(6+△t)

变化率问题与导数的概念

问题3:瞬时速度解：取一小段时间：[3,3+△t] 1 9 2- △S= g(3+△t) g 2 2△S V = △t

g 2

(6+△t)

当△t

0时，v

3g =29.4

(平均速度的极限为瞬时速度)

变化率问题与导数的概念

瞬时速度：(平均速度的极限为瞬时速度) S(3+△t)-S(3) 即：lim = 29.4 △t△t 0

思考：在t0时刻的瞬时速度呢？S(t0+△t)-S(t0) lim △t 0 △t

变化率问题与导数的概念

瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极限求得 瞬时速度，那么如何求函数f(x)在 x=x0点的瞬时变化率呢？可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：

f(x0+△x)-f(x0) lim △f lim = △x 0 △x △x 0 △x

变化率问题与导数的概念

导数函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：

f(x0+△x)-f(x0) lim △f lim = △x 0 △x △x 0 △x我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数.

f(x0+△x)-f(x0) lim 记作：f’(x0)= △x 0 △x

变化率问题与导数的概念

小结：由定义知，求f(x) 在x0处的导数步骤为： (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x ); y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x

变化率问题与导数的概念

例1.求y=x2在点x=1处的导数. 解： y (1 x)

y lim

lim (2 x) 2 x 0 x x 0 ' y | x 1 2

1 2 x ( x) 2 y 2 x ( x) 2 x x x2 2

2

变化率问题与导数的概念

小结：

1.平均速度2.平均变化率 3.导数

瞬时速度；瞬时变化率；

f(x0+△x)-f(x0) lim f’(x0)= △x 0 △x

变化率问题与导数的概念