有限元法的分析过程

l—2 有限单元法的特点在实际工作中，人们发现，一方面许多力学 问题无法求得解析解答，另一方面许多工程问 题也只需要给出数值解答，于是，数值解法便 应运而生. 力学中的数值解法有两大类型.其一是对微 分方程边值问题直接进行近似数值计算，这一 类型的代表是有限差分法；其二是在与微分方 程边值问题等价的泛函变分形式上进行数值计 算，这一类型的代表是有限单元法.

有限差分法的前提条件是建立问题的基本微分 方程，然后将微分方程化为差分方程(代数方程) 求解，这是一种数学上的近似.有限差分法能 处理一些物理机理相当复杂而形状比较规则的 问题，但对于几何形状不规则或者材料不均匀 情况以及复杂边界条件，应用有限差分法就显 得非常困难，因而有限差分法有很大的局限 性.计算结果已成为各类工业产品设计和性能 分析的可靠依据.大型通用有限元分析软件不 断吸取计算方法和计算机技术的最新进展，将 有限元分析、计算机图形学和优化技术相结合， 己成为解决现代工程学问题必不可少的有力工 具.

有限单元法的基本思想是里兹法加分片近 似.将原结构划分成许多小块，用这些离散单 元的集合体代替原结构，用近似函数表示单元 内的真实场变量，从而给出离散模型的数值 解.由于是分片近似，可采用较简单的函数作 为近似函数，有较好的灵活性、适应性与通用 性.当然有限单元法也有其局限性，如对于应 力集中、裂缝体分析与无限域问题等的分析都 存在缺陷.为此，人们又提出一些半解析方法 如有限条带法与边界元法等

在结构分析中，从选择基本未知量的角度来看， 有限单元法列分为三类：位移法、力法和混合 法.其中位移法易于实现计算自动化(力法的单 元插值函数也难以寻求),在有限单元法中应用 范围最广. 依据单元刚度矩阵的推导方法可将有限单元 法的推理途径分为直接法、变分法、加权残数 法与能量平衡法.

直接法直接进行物理推理，物理概念清楚，易于 理解，但只能用于研究较简单单元61特性. 变分法是有限单元法的主要理论基础之一，涉及 泛函极值问题，既适用于形状简年的单元，也适用 于形状复杂的单元，使有限单元法的应用扩展到类 型更为广泛的工程问题.当给定的问题存在经典变 分叙述时时，这是最方便的方法.当给定问题的经 典变分原理不知道时，须采用更为一般的方法，如 加权残数法或能量平衡法来推导单元刚度矩阵. 加权残数法由问题的基本微分方程出发而不依赖 于泛函.可处理已知基本微分方程去找不到泛函的 问题，如流因锅台问题，

从而进一步扩大了有限单 元法的应用范围.

1—3有限单元法分析过程概述1.结构离散化 结构离散化就是将结构分成有限个小的单元 体，单元与单元、单元与边界之间通过结点连 接.结构的离散化是有限单元法分析的第一步， 关系到计算精度与计算效率，是有限单元法的 基础步骤，包含以下两个方面的内容： (1)单元类型选择 离散化首先要选定单元类型，这包括单元形 状、单元结点数与结点自由度数等三个方面的 内容.基本的单元类型见表1—2.

(2)单元划分 划分单元时应注意以下几点： (a)网格的加密 网格划分越细，结点越多，计算结果越精 确.对边界曲折处、应力变化大的区域应加密 网格，集中载荷作用点、分布载荷突变点以及 约束支承点均应布置结点，同时要兼顾机时、 费用与效果.网格加密到一定程度后计算精度 的提高就不明显，对应力应变变化平缓的区域 不必要细分网格. (b)们单元形态应尽可能接近相应的正多边形 或正多面体.如三角形单元三边应尽量接近， 且不出现钝角，如图l—1所示；矩阵单元长宽 不宜相差过大等，如图1—2所示.

(c)单元结点应与相邻单元结点相连接，不 能置于相邻单元边界上，如图1—3所 (d)同一单元由同一种材料构成. (e)网格划分应尽可能有规律，以利于计算 机自动生成网格. (3)结点编码：整体结点编码和单元结点编 码.

2.单元分析单元分析有两个方面的内容： (1)选择位移函数 位移法分析结构首先要求解的是位移场.要 在整个结构建立位移的统一数学表达式往往是 困难的甚至是不可能的.结构离散化成单元的 集合体后，对于单个的单元，可以遵循某些基 本准则，用较之以整体为对象时简单得多的方 法设定一个简单的函数为位移的近似函数，称 为位移函数.

位移函数一般取为多项式形式，有广义坐标法 与插值法两种设定途径，殊途同归，最终都整 理为单元结点位移的插值函数. (2)分析单元的力学特征 (a)单元应变矩阵[B] 单元应变矩阵反映出单元结点位移与单元应 变之间的转换关系，由几何学条件导出. (b) (b)以单元应力矩阵[S] [S] 单元应力矩阵反映出单元结点位移与单元应 力之间的转换关系，由物理学条件导出. (c)记)单元刚度矩阵[K]t 单元刚度矩阵反映出单元结点位移{δ}t别与单 元结点力{F}t之间的转换关系，由平衡条件导出， 所得到的转换关系式称为单元刚度方程

3.整体分析整体分析包括以下几方面内容： (1)集成整体结点载荷向量{R} 结构离散化后，单元之间通过结点传递力。 所以有限单元法在结构分析中只采用结点载荷。 所有作用在单元上的集中力、体

积力与表面力 都必须静力等效地移置到结点上去，形成等效 结点载荷.最后，将所有结点载荷按照整体结 点编码顺序组集成整体结点载荷向量.

(2)集成整体刚度方程[K] 集合所有的单元刚度方程就得到总体刚度方 程 [K] {δ}= {R}式中：[K]称为总体刚度矩阵， 直接由单元刚度矩阵组集得到； {δ}为整体结 点位移向量； {R}为整体结点载荷向量. (3)引进边界约束条件，解总体刚度方程求出结点 位移分量(位移法有限元分析的基本未知量).

第二章 弹性力学基本方程与变分原理2-1关于外力、应力、形变与位移的定义 1外力 作用于物体的外力可以分为体积力和表面力，两 者也分别简称为体力和面力. 体力指分布在物体体积内的力. 面力指分布在物体表面上的力. 有限单元法分析中也使用集中力这一概念，其正 负号规定同上. 2.应力 物体受了外力的作用，或由于温度有所改变，其 内部将发生内力.

3.形变 所谓形变，就是形状的改变.物体的 形状总可以用它各部分的长度和角度来 表示。因出物体的形变总可以归结为长 度的改变和角度的改变.

4.位移 将物体内任意一点的位移用它在x、y、 z坐标轴上的投影u、v、w来表示，称为 该点的位移分量.以沿坐标轴正方向的 为正，沿坐标轴负方向的为负.

2—2 弹性力学的基本方程与求解严格地说，弹性力学问题都是所谓空间问题，即弹 性体占有三维空间，在外界因素作用下产生的应力、 应变与位移也是三维的。而且一般都是三个坐标的函 数. 弹性力学分析问题从静力学条件、几何学条件与物 理学条件三方面考虑，分别得到平衡微分方程、几何 方程与物理方程，统称为弹性力学的基本方程. 1.平衡微分方程在物体内的任意一点p,割取一个微 小的平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，而棱边的 长度为PA=dx,PB=dy,PC=dz,受力如图2—4所示