实数连续性循环证明及相互证明(4)

实数连续性循环证明及相互证明

三．用确界定理证明其它定理

1． 确界定理→实数基本定理

证明：对给定R的一个分划A|B，由于 b B，b是集合A的上界，由确界定理可得，集合A有上确界r，即 a A有a r。 r是集合A的上确界， r是集合A的全体上界的最小数。

b B，有r b。

唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。

2． 确界定理→单调有界定理

证明：设{xn}是单调上升有上界的实数列。由确界定理可得， r ，使r=sup{xn}。

n,有xn r，并且 0， xN，有xN r n N,有r xN xn r，即|xn r|

lim

n

xn= r。

单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。定理证完。

3． 确界定理→区间套定理

证明：由[an 1，bn 1] [an，bn]，知{an}是单调上升有上界的实数列，{bn}是单调下降有下界的数列。且b1是an的上界，a1是bn的下界。设liman= r，limbn=r ，由确界定理对的证明知

n

n

r=sup{an}，r =inf{bn}。由lim（bn an）=0得r r =0即r r = sup{an}=inf{bn}

n

n，有an r bn。

唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。

4． 确界定理→有限覆盖定理

证明：设E是闭区间[a，b]的一个覆盖。

定义数集A={x a|区间[a，x]在E中存在有限子覆盖} 从区间的左端点x a开始

.由于在E中有一个开区间覆盖a,因此a及其右侧充分邻近的点均在A中.

这就保证了数集A是非空的.从数集A的定义可见,若x A,则整个区间[a，x] A.

若A无上界,则b A,那么[a，b]在E中存在有限子覆盖.

若A有上界, 由确界定理可得 r,使r=supA。

x r，都有x A。事实上， (r x) 0, y,使得y r (r x) x。 [a，y]在E中存在有限子覆盖， [a，x] [a，y]在E中存在有限子覆盖

下证b r。用反证法。如果不然，r b，则r [a，b]。因此，在E中存在有一开区间覆盖E 覆盖r。 a0，b0

E ，使a0 r b0。

由上面论证知a0 A，也即区间[a，a0]在E中存在有限子覆盖，向这个有限子覆盖再加上开区间E ，