则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点。因此也是高考的命题热点。
例4 已知定点F为(0,a)(a≠0),点PM分别在x,y轴上,满足 0,点N满足 。
(1) 求点N的轨迹方程C
AGB(2) 过F作一条斜率为k的直线l,l与曲线C交于AB两点,设G(0,a),
解(2):由题意知,直线l的方程为y=kx+a,代入x2=4ay得x2 -4akx-4a2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4ak,x1x2= -4a2。
∴y1+y2=(kx1+a)+(kx2+a)=k(x1+x2)+2a=4ak2+2a,
y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a2= -4a2k2+4a2k2+a2=a2.
∵G(0,-a),∴GA=(x1,y1+a),GB=(x2,y2+a). ∴ =x1x2+(y1+a)(y2+a)=x1x2+y1y2+a(y1+y2)+a
=-4a+a+a(4ak+2a)+a=4ak 0.
2222222 ,求证:0< 2
cos 0,∴cos 0,∴0
2.
又点G(0,-a)不在直线l上,∴A,B,G三点不共线.∴0<
2.
此题由角的范围想到角的余弦值的正负,进而想到向量的数量积公式,转化为直线和圆锥曲线的关系,思路可谓自然。在此过程中,向量连接起三角与解析几何,起到了桥梁的作用。
在数学的复习中,教师要有意识地以向量的知识为抓手,精心组织起以向量为中心的知识的交汇网络,在教材中充分挖掘素材,让学生在运用中逐渐感知、理解、掌握。