3 勾股定理的应用

第一章

勾股定理

3. 勾股定理的应用

教学目标 1能运用勾股定理及直角三角形的判别条件 解决简单的实际问题。 2学会观察图形，探索图形间的关系。 3学会将实际问题抽象成几何图形。

从二教楼到综合楼怎样走最近？ 说明理由.

石室联中平面图一 教 楼 综 合 楼 二 教 楼

操场两点之间,线段最短.

问题情境在一个圆柱石凳上， 若小明在吃东西时留下了一 点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息， 于是它想从A处爬向B处，你 们想一想，蚂蚁怎么走最近？A B

合作探究以小组为单位,研究蚂 蚁爬行的最短路线.B

A

A’

d

B

A’

B

A

A

蚂蚁A→B的路线OB B

A

A

怎样计算AB?A’

r

O

B

A’

B

h

侧面展开图

A

A

在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得: AB 2 AA 2 A ' B 2 其中AA’是圆柱体的高,A’B是 底面圆周长的一半(πr) .

若已知圆柱体高为12 cm,底面半径为 3 cm,π取3,则:

AB 12 (3 3) AB 152 2 2A’

3

O

B侧面展开图

A’12

3π B

12

A

A

方法提炼 用所学数学知识去解决实际问题的关键： 根据实际问题建立数学模型；

具体步骤：1. 审题——分析实际问题； 2. 建模——建立相应的数学模型； 3. 求解——运用勾股定理计算；

4. 检验——是否符合实际问题的真实性.

做一做李叔叔想要检测雕塑底 座正面的AD边和BC边是否分别垂 直于底边AB,但他随身只带了卷 尺， (1)你能替他想办法完成任务 吗？

做一做(2)李叔叔量得AD长是30 cm, AB长是40 cm,BD长是50 cm,AD 边垂直于AB边吗？为什么？ 解：AD 2 AB 2 30 2 40 2 2500

BD 25002

AD AB BD2 2

2

∴AD和AB垂直.

做一做(3)小明随身只有一个长度为 20 cm的刻度尺，他能有办法检 验AD边是否垂直于AB边吗？BC边 与AB边呢？

小试牛刀练习1 练习2 练习3

1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险， 某日早晨8:00甲先出发，他以6 km/h的 速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走.上午10:00,甲、 乙两人相距多远？

小试牛刀练习1 练习2 练习3

解:如图:已知A是甲、乙的出发点， 10:00甲到达B点,乙到达C点.则：北 C

AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km) 在Rt△ABC中B 东

A

BC 2 AC 2 AB 2 52 122 169 132

∴BC=13(km) . 即甲乙两人相距13 km.

小试牛刀练习1 练习2 练习3

2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处 搬运食物，它怎么走最近？并求出最 近距离.3 2 20 B

A

2 2 2 2 AB 15 20 625 25 AB 25. 解: 答：沿AB走最近，最近距离为25 .

小试牛刀练习1 练习2 练习3

3.有一个高为1.5 m,半径是1 m 的圆柱形油桶，在靠近边

的地方有一小孔，

从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m,问这根铁棒有多长？

你能画出示意 图吗?

小试牛刀练习1 练习2 练习3

解:设伸入油桶中的长度为x m,则最 2 2 2 长时: x 1.5 2

x 2.5 ∴最长是2.5+0.5=3(m) . 最短时: x 1.5 ∴最短是1.5+0.5=2(m) . 答:这根铁棒的长应在2~3m之间.

举一反三1.如图，在棱长为10 cm 的正方体

的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度

是1cm/s,且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B?食物

B

A

举一反三1.如图，在棱长为10 cm 的正方体的一

个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且

速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B?B

B

A

举一反三2.在我国古代数学著作《九章算 术》中记载了一道有趣的问题，这 个问题的意思是：有一个水池，水

中国古代人民 的聪明才智真 是令人赞叹 !

面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它

高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸

边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

举一反三解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇 长为AD=AB=(x+1)尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2 即 52+x2=(x+1)2 25+x2= x2+2x+1, 2x=24, ∴ x=12, x+1=13 . 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.