2012年高考第一轮复习数学：6.3 不等式的证明(二(2)

4.（理）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，则am与bm的大小关系是____________.

解析：若d=0或q=1，则am=bm.

n－1

若d≠0，画出an=a1+（n－1）d与bn=b1·q的图象，

易知am＞bm，故am≥bm. 答案：am≥bm

（文）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3， ），则an+1与bn+1的大小关系是____________.

解析：an+1=

a1 a2n 1

2

≥a1a2n 1=b1b2n 1=bn+1.

答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，则

1a b

1a b

+

1b c

1

_______

3a c

.（填“＞”“=”“＜”）

1a b

解析：a＞b＞c，（

1

+

b c

）（a－c）=（+

1b c

）［（a－b）+（b－c）］

≥2

a b）（b c）1

·2a b）（b c）=4.

3a c

∴

a b

+

1b c

≥

4a c

＞.

答案：＞ ●典例剖析

【例1】 设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.求证：loga（ax＋ay）＜loga2＋

x

y

18

.

剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y. 证明：∵a＞0，a＞0， ∴a＋a≥2

2x

y

a

x y

＝2

12

a

x x

2

.

1

∵x－x＝

14

－（x－）≤

1

2

14

1

，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.

xy

∴loga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋

xy

18

.

1

评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证： （1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.

剖析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带

xy