2012年高考第一轮复习数学：6.3 不等式的证明(二(5)

∴（a+b）－2ab+c=1.

∴2ab=（a+b）+c－1=（1－c）+c－1=2c－2c. ∴ab=c2－c.

22

又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的两个根，且a＞b＞c.

Δ 0

1 1 c22

令f（x）=x+（c－1）x+c－c，则 c c 0

3 2

f（c） 0.

2

2

2

2

2

22

6.已知

2b 2ca

=1，求证：方程ax2+bx+c=0有实数根.

a 2c

2

证明：由

2b 2ca

=1，∴b=.

∴b=（

2

a2

+2c）=

2

a

2

2

+2ac+2c2=4ac+（

a2

－2c）2≥4ac.

∴方程ax2+bx+c=0有实数根. 7.设a、b、c均为实数，求证：证明：∵a、b、c均为实数，∴

1212

12a

+

12b1

+＋

12c12b

≥

1b c

+

1

1c a

+

1a b

.

12

（

2a

）≥≥

1a b

，当a=b时等号成立；

2ab

（（

12b12c

＋＋

12c12a

）≥）≥

12bc12ca

≥≥+

1b c1c a

，当b=c时等号成立； ． ≥

1b c

三个不等式相加即得探究创新

12a

12b

+

12c

+

1c a

+

1a b

，当且仅当a=b=c时等号成立.

8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.

求证：a、b、c、d中至少有一个是负数. 证明：假设a、b、c、d都是非负数，

∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.这与ac+bd＞1矛盾. 所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数.

●思悟小结

1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.

2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.

3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.

4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.

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