空间向量与立体几何(8)

关于空间向量与立体几何

10 .

22

tan ,32

||||cos ),

2,21

,23

(),2,0,0(111111==⋅=--===θθ即故因A B EA A B EA EA BA A B

7、解：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为

,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)D P C

设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>

).0,23

,(),2,21

,(),0,21

,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得， 即.23

,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23

,23

()0,21

,23

(，

又PD D E ⊥，故D E 是异面直线PD 与C E 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线 PD ,C E 的距离为1.

（Ⅱ）作D G P C ⊥，可设(0,,)G y z .由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==DG y z 故可取作EF PC ⊥于F ，设(0,,)F m n ， 则).,21

,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21

,23

(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得，

又由F 在P C 上得).22

,21,23(,22

,1,222

-===+-=EF n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故E P C D --的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角. 故,4,22||||cos πθθ==⋅=EF DG EF DG 即二面角E P C D --的大小为.4π