基于自由摆的平板控制系统设计报告(7)

2011年 全国大学生电子设计竞赛 基于自由摆的平板控制系统 B题

2系统理论分析与计算

2.1系统建模与计算

B

A

C

B

图2

C

A

图3

激光笔照射中心的系统模型

D

硬币不滑落的系统模型

2.1.1硬币不滑落的建模与计算

如图2所示，设当摆杆倾角为θ时，平台与水平方向的夹角为α。对硬币进行受力分析，其合力为自身重力与离心力这两个力的合力。若硬币不掉，则平台平面与合力方向垂直。由此可建立平面几何模型，求得α与θ的关系。具体计算如下：

在△ABC中，利用余弦定理求得AC=[(mg)2+(mω2)2﹢2m2gω2cosθ]1/2。其中，ω=dθ/dt。再利用正弦定理得α=arcsin[rω2sinθ/(g2+ω2+2gω2cosθ)1/2]。由于平台转动θ角后水平，所以硬币不滑落的平台旋转角度为（θ－α）度。2.1.2激光笔照射中心线的建模与计算

如图3所示，设当摆杆倾角为θ时，激光笔发射的激光光线与水平面的夹角（也是平台与水平面的夹角）为β。由此可建立平面几何模型，求得β与θ的关系。具体计算如下：

在△ABC中解得AC=2sin（θ/2）。在△ACD中，利用余弦定理可解得CD=(17/4-2cosθ-3sinθ)1/2。再由正弦定理得∠β=arcsin﹛[AC×sin(θ/2)]/CD﹜=[(1-cosθ)/(17/4-2cosθ-3sinθ)1/2]。由于平台转动θ角后水平，所以当转到靠近靶子一侧时平台转动角度为（θ+β）度；当转到远离靶子一侧时平台转动角度为（θ－β）度。